진법 변환기

근거: n진법에서 각 자리는 밑수의 거듭제곱을 뜻합니다. 오른쪽에서부터 0번째 자리는 base⁰, 그다음은 base¹, base² 순으로 커집니다. 예를 들어 2진수 1011은 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1 = 11입니다. 자리마다 새로운 기호를 발명해야 하는 표기 방식과 달리, 위치 기수법은 정해진 개수의 숫자 기호만으로 원하는 만큼 큰 수를 표현할 수 있게 해줍니다 — 같은 기호 1이라도 놓인 자리에 따라 1도 되고 2도 되고 8도 됩니다. 10진수 173도 마찬가지입니다: 1×10² + 7×10¹ + 3×10⁰ = 100+70+3 = 173으로, 우리가 매일 쓰는 10진법 역시 이 원리 위에 서 있습니다. 이것이 자릿값의 핵심이며, 10진법이든 2진법이든 16진법이든 원리는 똑같이 적용됩니다.

10진수 173을 2진수로 바꾸는 계산 과정은 나머지 나눗셈을 반복하는 것입니다. 173÷2=86…1, 86÷2=43…0, 43÷2=21…1, 21÷2=10…1, 10÷2=5…0, 5÷2=2…1, 2÷2=1…0, 1÷2=0…1. 몫이 0이 될 때까지 나눈 뒤 나머지를 마지막에서 첫 번째 순서로 거꾸로 읽으면 10101101이 됩니다. 같은 방식으로 8로 나누면 173÷8=21…5, 21÷8=2…5, 2÷8=0…2이므로 거꾸로 읽어 255가 되고, 16으로 나누면 173÷16=10…13, 10÷16=0…10이므로 거꾸로 읽어 A(10)D(13), 즉 AD가 됩니다. 세 결과 모두 위 계산기에 173을 넣어 그대로 확인할 수 있습니다.

16은 2⁴이기 때문에 16진수 한 자리가 정확히 2진수 네 자리에 대응합니다. 그래서 자리마다 딱 떨어지게 변환할 수 있습니다. 앞서 구한 2진수 10101101을 오른쪽부터 네 자리씩 끊으면 1010과 1101이 되고, 1010은 10이라 A, 1101은 13이라 D이므로 합쳐서 AD가 됩니다 — 나머지 나눗셈으로 구한 값과 정확히 일치합니다. 8진수도 같은 이유로 쓰입니다: 8은 2³이라 8진수 한 자리가 2진수 세 자리에 대응합니다. 반면 10진수는 2의 거듭제곱이 아니므로(10 = 2×5) 이런 깔끔한 자리 대응이 성립하지 않아, 10진수를 2진수로 바꾸려면 자리마다 끊어 읽는 게 아니라 앞서 본 나머지 나눗셈처럼 값 전체를 다시 계산해야 합니다. 이 자리 대응 덕분에 프로그래머는 길고 읽기 어려운 2진수 대신 16진수나 8진수로 값을 짧고 정확하게 표기하며, 메모리 주소나 색상 코드처럼 2진수 데이터를 다룰 때 특히 자주 쓰입니다.

웹에서 흔히 보는 #RRGGBB 색상 코드는 빨강·초록·파랑 각 채널의 0~255 값을 두 자리 16진수로 적은 것입니다. 한 채널이 가질 수 있는 최댓값 255는 16진수로 FF인데, F가 15이므로 FF = 15×16 + 15 = 255가 되어 정확히 맞아떨어집니다. 두 자리 16진수는 0부터 255까지 256가지 값을 정확히 표현할 수 있어서(16×16=256), 채널 하나를 나타내는 데 이보다 더 딱 맞는 자릿수가 없습니다. 만약 채널값이 5, 200, 16처럼 자릿수가 제각각일 때 10진수로 그냥 이어 적으면(520016) 5·200·16인지 52·0·16인지 경계가 모호해지지만, 항상 두 자리로 고정되는 16진수(05·C8·10)는 여섯 글자만 보고도 RR·GG·BB를 자리 단위로 즉시 나눌 수 있습니다. 이 계산기는 그 자릿수 대응 원리만 보여줄 뿐, 색 공간 자체의 변환은 다루지 않습니다.

10진수 0.1은 2진수로 옮기면 0.0001100110011…처럼 끝나지 않는 무한소수가 됩니다. 10진수에서 1/3이 0.333…으로 끝나지 않듯, 2진수에서는 밑이 2의 거듭제곱이 아닌 분모를 가진 소수가 끝나지 않습니다. 컴퓨터는 유한한 비트만 저장할 수 있어 이 무한소수를 어느 자리에서 잘라 근사값으로 저장하는데, 그 결과 0.1 + 0.2를 계산하면 정확히 0.3이 아니라 0.30000000000000004가 나옵니다. 이는 특정 언어의 버그가 아니라 2진 부동소수점(IEEE 754) 방식 자체의 잘 알려진 함정입니다. 같은 방식이 정수 쪽에도 한계를 남깁니다 — 자바스크립트 숫자가 오차 없이 표현하는 정수는 2^53−1(9,007,199,254,740,991)까지이며. 다만 이 계산기의 코드를 확인한 결과 입력값을 정수로 자른 뒤(Math.trunc) 변환하므로, 소수점 이하가 있는 값을 입력해도 정수 부분만 계산에 쓰입니다.

시간을 60초·60분 단위로, 각도를 360도로 나누는 관습은 고대 바빌로니아의 60진법 수 체계에서 비롯되었다고 알려져 있습니다. 다만 이 역사적 기원의 세부 경로까지 확정하기는 어려워, 여기서는 이 한 문장 이상 단정하지 않습니다. 60진법이 왜 골랐는지는 여러 설이 있지만, 60이 2·3·4·5·6·10·12·15·20·30으로 나누어떨어지는 약수가 많은 수라 분수 계산이 편했으리라는 점은 이 계산기가 다루는 자릿값·밑수 원리와 같은 결의 이야기입니다. 밑수가 크고 약수가 많을수록 나눗셈이 딱 떨어지는 경우가 늘어나는 것은 어느 진법에서나 성립하는 성질입니다. 이 페이지 설명의 기준일은 2026년입니다 — 진법 변환 자체는 수학적으로 고정되어 바뀌지 않지만, 예시 문구나 프로그래밍 관행에 대한 서술은 이후 갱신될 수 있습니다.