수학

퍼센트와 퍼센트포인트, 뭐가 다른가

실업률이 5%에서 7%로 올랐다는 뉴스를 보면 어떤 기사는 2% 상승, 어떤 기사는 2%포인트 상승이라 쓴다. 퍼센트는 두 비율 사이의 상대적 변화율을 뜻해 5%에서 7%로의 변화는 사실상 40% 상승이고, 퍼센트포인트는 두 비율의 단순한 차이라 2%p가 맞다. 백분율 계산기에서 A는 B의 몇 %인지와 한 값에서 다른 값으로의 증감률을 각각 넣어 보면 두 표현이 왜 갈리는지 숫자로 바로 확인된다. 근거: 위 두 숫자는 7−5=2%p 라는 뺄셈과 (7−5)÷5=0.4 라는 나눗셈에서 그대로 나온다. 시점이나 기관과 무관한 산술이라 따로 인용할 출처가 필요 없다.

20% 올랐다가 20% 내리면 왜 원래로 안 돌아올까

가격이 20% 오른 뒤 20% 내리면 원래 가격으로 돌아올 것 같지만 아니다. 100원이 20% 오르면 120원, 거기서 20% 내리면 120의 20%인 24원이 빠져 96원이 된다. 오를 때와 내릴 때 기준이 되는 값(100원과 120원)이 서로 다르기 때문이다. 백분율 계산기로 B의 A%는 얼마인지를 두 단계로 나눠 계산해 보면 이 차이가 왜 생기는지 눈으로 확인할 수 있고, 비율(비례식) 계산기는 두 수량의 관계를 비로 정리할 때 함께 쓰면 편하다. 근거: 100×1.2=120, 120×0.8=96 이라는 두 번의 곱셈으로 그대로 되짚을 수 있다. 96이 100으로 돌아오지 않는 것은 두 번째 곱셈의 기준이 100이 아니라 120이기 때문이다.

반올림, 계산기마다 답이 다른 이유

반올림은 하나의 규칙이 아니다. 학교에서 배우는 사사오입은 4까지 버리고 5부터 올리는 방식이지만, 은행이나 통계 소프트웨어는 5가 애매하게 반복될 때의 오차를 줄이려고 짝수로 맞추는 은행가 반올림(round half to even)을 쓰기도 한다. 같은 숫자를 넣어도 도구마다 규칙이 다르면 마지막 자리 값이 달라질 수 있는 이유다. 반올림·올림·버림 계산기는 반올림·올림(切上)·버림(切下) 세 값을 한 번에 보여줘 어느 방식으로 계산했는지 헷갈릴 일이 없다. 근거: 3.14159 를 소수 둘째 자리에서 반올림하면 3.14, 올림하면 3.15, 버림하면 3.14 다 — 세 방식이 같은 답을 낼 때도 있고 갈릴 때도 있다는 것이 요점이며, 위 계산기가 세 값을 나란히 보여주는 이유다.

소수 판별, 왜 제곱근까지만 나눠보면 될까

어떤 수 n이 소수인지 확인하려면 2부터 n-1까지 다 나눠볼 필요가 없다. n이 두 수의 곱으로 나뉜다면 두 수 중 적어도 하나는 반드시 √n보다 작거나 같기 때문에, √n까지만 나누어떨어지는 수가 있는지 확인하면 충분하다. 예를 들어 97이 소수인지 볼 때는 9(=√97의 정수부분)까지만 확인하면 된다. 소수 판별기는 이 방식으로 소수 여부와 약수 목록을 함께 보여주고, 최대공약수·최소공배수 계산기는 유클리드 호제법으로 두 수의 공약수·공배수 관계를 정리해 준다. 근거: 97은 √97 ≈ 9.85 이므로 2·3·5·7 로만 나눠 보면 되고, 넷 다 나누어떨어지지 않아 소수임이 확정된다. 나눠 볼 수를 √n 까지로 줄일 수 있는 것은 n = a×b 에서 a·b 가 둘 다 √n 보다 클 수 없다는 점에서 바로 나온다.

로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 도구다

로그의 핵심은 log(A×B) = log A + log B, 즉 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 성질이다. 계산기가 흔치 않던 시절 이 성질 덕분에 큰 수의 곱셈을 로그표의 덧셈으로 대신할 수 있었다. 지금도 소리의 크기를 나타내는 데시벨, 용액의 산성도를 나타내는 pH, 지진 규모를 나타내는 리히터 척도가 모두 로그 단위인 이유는 원래 값의 범위가 너무 넓어서 한 자릿수 차이로 압축해 다루기 위해서다. 로그 계산기는 밑변환 공식으로 log_b(x) 값을 바로 구해 준다. 출처: 고등학교 수학Ⅰ 지수와 로그 단원.

이 카테고리의 나머지 계산기들

숙제나 시험 대비용으로는 이차방정식 계산기가 ax²+bx+c=0의 판별식과 두 근을 한 번에 보여주고, 분수 계산기는 두 분수의 사칙연산 결과를 기약분수로 정리해 준다. 규칙적으로 늘거나 줄어드는 수열을 다룰 때는 등차수열 계산기(일정하게 더해지는 수열)와 등비수열 계산기(일정한 비로 곱해지는 수열)를 구분해 쓰면 되고, 거듭제곱·제곱근 계산기는 지수 계산과 제곱근을 함께 확인할 때 쓴다. 로마 숫자 변환기는 시계 문자판이나 영화 제작연도 표기를 읽고 쓸 때 유용하다.

자주 묻는 질문