원뿔 부피·겉넓이 계산기

원뿔의 옆면을 평평하게 펼치면 부채꼴이 되는데, 이 부채꼴의 반지름이 바로 모선 길이(l)입니다. 높이(h)가 아니라 꼭짓점에서 밑면 둘레까지의 실제 빗변 거리이므로, 피타고라스 정리 l=√(r²+h²)로 먼저 구해야 옆면 넓이(πrl)를 계산할 수 있습니다.

이 페이지의 기본값인 반지름 3, 높이 4로 세 값을 차례대로 손계산해 보겠습니다. 첫째, 모선 길이는 l=√(3²+4²)=√(9+16)=√25이므로 정확히 5입니다. 둘째, 부피는 V=(1/3)×π×3²×4에서 3²=9, 9×4=36이고 여기에 1/3을 곱하면 12이므로 V=12π≈37.6991, 소수 둘째 자리까지 표시하면 37.70입니다. 셋째, 겉넓이는 밑면과 옆면을 따로 구해 더합니다. 밑면 넓이는 π×3²=9π≈28.27, 옆면 넓이는 π×3×5=15π≈47.12이므로 겉넓이는 9π+15π=24π≈75.3982, 표시값으로는 75.40입니다. 위 계산기에 3과 4를 넣었을 때 나오는 숫자와 같은지 확인해 보세요.

이 계산기는 반지름과 높이가 둘 다 0보다 클 때만 결과를 냅니다. 반지름이 0이면 밑면이 점으로 찌그러져 도형이 선분이 되고, 높이가 0이면 꼭짓점이 밑면에 붙어 평평한 원이 됩니다. 어느 쪽도 부피를 가진 입체가 아니므로 세 출력값이 모두 —로 바뀝니다. 음수 역시 길이로 성립하지 않아 같은 처리를 받습니다. 다만 0.001처럼 아주 작아도 0보다 크기만 하면 정상적으로 계산되며, 이때 부피는 0에 가까운 아주 작은 값으로 나옵니다.

가장 흔한 실수는 옆면 넓이를 πrl 대신 πrh로 계산하는 것입니다. 기본값에서 이 실수를 저지르면 옆면이 π×3×4=12π≈37.70이 되고 겉넓이는 9π+12π=21π≈65.97로 떨어집니다. 실제 값 24π≈75.40보다 3π≈9.42만큼, 비율로는 12.5%나 작습니다. 모선은 밑면과 높이가 이루는 직각삼각형의 빗변이라 항상 높이보다 길기 때문에, 높이를 대신 쓰면 결과는 언제나 실제보다 작게 나옵니다.

부피식 V=(1/3)πr²h에서 반지름은 제곱으로, 높이는 일차로 들어갑니다. 그래서 기본값에서 반지름만 3에서 6으로 두 배 늘리면 부피는 12π에서 48π≈150.80으로 네 배가 되지만, 높이만 4에서 8로 두 배 늘리면 24π≈75.40으로 두 배에 그칩니다. 다만 이것은 부피만 본 비교라, 재료(겉넓이)까지 함께 따지면 결론이 뒤집힙니다. 반지름을 6으로 키운 원뿔은 겉넓이가 249.02로 불어나 부피 150.80을 담고(겉넓이 1당 0.61), 높이를 8로 키운 원뿔은 겉넓이 108.80으로 부피 75.40을 담습니다(겉넓이 1당 0.69). 재료를 같은 양만큼 쓴다고 놓고 비교해도 마찬가지입니다 — 겉넓이를 기본값의 두 배쯤인 151에 맞춰 놓고 반지름만 키운 원뿔(r=4.54, h=4)과 높이만 키운 원뿔(r=3, h=12.68)을 위 계산기에 각각 넣어 보면, 겉넓이는 151.05와 151.08로 거의 같은데 부피는 86.34와 119.51로 갈립니다 — 같은 재료로 38%나 더 담기는 쪽은 높이입니다. 정리하면 치수를 두 배로 늘렸을 때 부피가 더 크게 뛰는 쪽은 반지름이지만, 같은 재료로 더 많이 담는 쪽은 높이입니다. 폭이 제한된 자리라면 반지름을 못 키우는 대신, 높이는 늘린 만큼 부피가 정비례로 커진다는 점을 쓰면 됩니다.

밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피는 πr²h이고 원뿔은 그 3분의 1입니다. 기본값으로 확인하면 원기둥은 π×9×4=36π≈113.10, 원뿔은 12π≈37.70으로 정확히 3배 차이입니다. 이 3분의 1은 근사치가 아니라 적분이나 카발리에리의 원리로 증명되는 정확한 값이며, 밑면이 원이 아닌 각뿔에서도 똑같이 성립합니다. 그래서 원뿔 세 개를 부으면 같은 밑면·높이의 원기둥이 정확히 가득 찬다는 실험이 교과서에 자주 등장합니다.

이 계산기는 단위를 따로 받지 않고 숫자만 받습니다. 반지름과 높이를 같은 단위로 넣으면 부피는 그 단위의 세제곱, 겉넓이와 모선 길이는 각각 제곱과 일차 단위로 해석하면 됩니다. 반지름 3cm·높이 4cm를 넣었다면 결과는 37.70cm³와 75.40cm²입니다. 문제는 반지름을 cm로, 높이를 m로 넣는 경우인데 계산기는 이를 알아채지 못하고 그대로 계산해 버립니다. 오류 표시가 없으니 단위 통일은 입력 전에 직접 확인해야 합니다.

생활에서 원뿔 부피를 재는 대상은 대개 파티 고깔모자, 아이스크림 콘, 쌓아 올린 모래나 곡물 더미입니다. 이때 자로 재기 쉬운 값은 모선 길이(꼭짓점에서 밑면 가장자리까지의 겉면 거리)이지 높이가 아닙니다. 모선 l과 반지름 r을 쟀다면 높이는 같은 피타고라스 관계를 뒤집어 h=√(l²−r²)로 구한 뒤 위 계산기에 넣으면 됩니다. 예를 들어 모선이 5, 반지름이 3이면 h=√(25−9)=4가 되어 기본값과 같아집니다.

여기서 다루는 원뿔은 꼭짓점이 밑면 중심 바로 위에 있는 직원뿔입니다. 꼭짓점이 옆으로 치우친 빗원뿔은 부피식 V=(1/3)πr²h가 그대로 성립하지만(밑면과 높이가 같으면 부피가 같다는 카발리에리의 원리), 겉넓이식 S=πr(r+l)은 성립하지 않습니다. 빗원뿔은 방향마다 모선 길이가 달라 옆면이 하나의 부채꼴로 펼쳐지지 않기 때문입니다. 이 설명의 기준일은 2026년이며, 앞으로도 내용이 달라질 일은 없습니다. 근거: 위 세 공식은 특정 기관의 고시나 규정이 아니라 직원뿔의 정의에서 바로 유도되는 수학적 관계입니다. 모선은 반지름과 높이가 이루는 직각삼각형의 빗변이고, 옆면은 반지름이 l이고 호의 길이가 밑면 둘레 2πr인 부채꼴이라 그 넓이가 (1/2)×l×2πr=πrl로 정해집니다. 따라서 시점이나 국가와 무관하게 값이 바뀌지 않습니다.