원기둥 부피·겉넓이 계산기

이 페이지의 기본값인 반지름 3, 높이 5로 두 값을 손계산해 보겠습니다. 부피는 밑면 넓이에 높이를 곱합니다. 밑면 넓이가 π × 3² = 9π ≈ 28.2743이므로 여기에 5를 곱하면 45π ≈ 141.3717입니다. 겉넓이는 두 부분을 따로 구해 더합니다. 위아래 밑면 둘을 합치면 2 × 9π = 18π ≈ 56.5487이고, 옆면은 너비가 밑면 둘레 2π × 3 = 6π이고 높이가 5인 직사각형이므로 30π ≈ 94.2478입니다. 둘을 더하면 18π + 30π = 48π ≈ 150.7964입니다. 위 계산기가 표시하는 141.3717과 150.7964가 이 손계산과 같은지 확인해 보세요.

2·π·r²은 위아래 두 밑면(각각 넓이 π·r²인 원 2개)을 더한 값입니다. 2·π·r·h는 옆면을 펼쳤을 때 나오는 직사각형으로, 너비는 밑면 둘레(2·π·r), 높이는 원기둥의 높이 h입니다. 캔의 라벨을 뜯어 평평하게 펴 보면 정확히 이 직사각형이 나옵니다. 그래서 겉넓이 계산에서는 h를 옆면에만 쓰고 밑면 쪽에는 쓰지 않으며, 뚜껑 없는 통의 겉넓이를 구할 때는 앞 항을 2배가 아닌 1배로 바꿔 π·r² + 2·π·r·h로 계산해야 합니다.

밑면과 높이가 같은 원뿔의 부피는 원기둥의 정확히 3분의 1입니다. 기본값으로 확인하면 원기둥은 45π ≈ 141.3717이고, 반지름 3·높이 5인 원뿔은 15π ≈ 47.1239입니다. 47.1239를 세 번 더하면 141.3717로 정확히 돌아옵니다. 이 3분의 1은 어림값이 아니라 두 입체의 정의에서 유도되는 정확한 비율이고, 뒤집어 쓰면 원뿔 부피에 3을 곱해 원기둥 부피를 얻을 수도 있습니다. 반대로 이 관계를 겉넓이에 옮기면 틀립니다. 원뿔의 겉넓이에는 옆면을 펼친 부채꼴이 들어가고 그 반지름은 높이가 아니라 모선이라, 3배 관계가 성립하지 않습니다.

이 계산기가 받는 값은 반지름입니다. 자로 재기 쉬운 것은 대개 지름이라, 잰 값을 그대로 넣는 실수가 자주 나옵니다. 기본값 상황에서 실제 지름이 6인 통을 두고 반지름 칸에 3 대신 6을 넣으면 부피가 141.3717에서 565.4867로 네 배가 됩니다. 부피가 r²에 비례하니 2배 입력은 4배 결과가 되는 것입니다. 겉넓이는 150.7964에서 414.6902로 2.75배가 되는데, 겉넓이의 두 항 중 밑면 쪽만 제곱으로 커지고 옆면 쪽은 한 번만 커져 배율이 4배와 2배 사이에서 갈리기 때문입니다. 지름을 쟀다면 2로 나눈 뒤 넣으세요.

부피식 π·r²·h에서 반지름은 제곱으로, 높이는 일차로 들어갑니다. 기본값에서 반지름만 3에서 6으로 두 배 늘리면 부피는 141.3717에서 565.4867로 네 배가 되지만, 높이만 5에서 10으로 두 배 늘리면 282.7433으로 두 배에 그칩니다. 담을 양을 늘리려면 폭을 키우는 쪽이 압도적으로 효율이 좋고, 반대로 좁은 자리에 놓아야 하는 통은 아무리 길게 만들어도 용량이 더디게 늘어난다는 뜻입니다. 반지름을 절반인 1.5로 줄이면 부피는 4분의 1인 35.3429로 떨어집니다.

입력칸에는 단위 없이 숫자만 넣습니다. 반지름과 높이를 같은 자로 재어 넣었다면 결과는 그 자의 세제곱·제곱으로 읽으면 됩니다. 반지름 3cm·높이 5cm를 넣었다면 부피는 141.3717cm³, 겉넓이는 150.7964cm²입니다. 여기서 길이 단위를 100배 큰 것으로 바꾸면(cm → m) 부피를 나타내는 숫자는 100의 세제곱인 100만으로 나뉩니다. 즉 141.3717cm³는 0.0001413717m³이고, 1L = 1,000cm³이므로 약 0.1414L입니다. 자가 100배 길어지면 그 자로 재는 부피 한 칸은 백만 배 커지고, 그래서 같은 부피를 적은 숫자는 백만분의 1로 작아집니다. 이 방향을 헷갈리면 자릿수를 통째로 놓치기 쉽습니다. 반지름만 cm로, 높이만 m로 넣는 경우 계산기는 오류를 내지 않고 그대로 계산해 버리므로 단위 통일은 입력 전에 직접 확인해야 합니다.

손계산에서 π 대신 3.14를 쓰는 습관은 자릿수가 늘어날수록 부담이 됩니다. 기본값에서 45 × 3.14 = 141.3인데, 이 계산기가 쓰는 π ≈ 3.14159265로 계산한 141.3717과 비교하면 0.0717만큼, 비율로는 약 0.05% 작습니다. 한 번 계산에서는 무시할 만하지만 부피가 r²에 비례하니 큰 통에서는 절대 오차가 그대로 커지고, 여러 번 곱해 쌓는 견적에서는 차이가 눈에 보이기 시작합니다. 이 계산기는 π를 반올림하지 않고 표시 단계에서만 소수 넷째 자리로 자르므로, 손계산 값과 마지막 자리가 다르다면 대개 π를 어디까지 썼는지의 차이입니다.

이 계산기는 반지름과 높이가 둘 다 0보다 클 때만 결과를 냅니다. 반지름이 0이면 밑면이 점으로 찌그러져 부피도 겉넓이도 없는 선분이 되고, 높이가 0이면 위아래 두 밑면이 겹쳐 두께 없는 원이 됩니다. 어느 쪽도 통이라 부를 수 있는 입체가 아니므로 두 출력 모두 —로 바뀌고, 반지름과 높이가 모두 0보다 커야 한다는 안내가 함께 나옵니다. 부호가 마이너스인 길이도 마찬가지로 결과를 내지 않습니다. 반대로 0.001처럼 극단적으로 작은 값은 0만 넘으면 그대로 받아들여, 부피가 0에 바짝 붙은 숫자로 나옵니다.

여기서 다루는 원기둥은 밑면이 원이고 옆면이 밑면에 수직인 직원기둥입니다. 옆면이 기울어진 빗원기둥은 밑면과 높이가 같으면 부피가 π·r²·h로 같지만, 겉넓이는 이 식으로 구할 수 없습니다. 방향마다 옆면 길이가 달라 펼쳤을 때 직사각형이 되지 않기 때문입니다. 밑면이 타원인 통도 다른 식이 필요합니다. 이 설명의 기준일은 2026년이며, 두 식이 달라질 일은 없습니다. 근거: 부피식은 ‘밑면 넓이 × 높이’라는 기둥 도형의 정의에 원의 넓이 π·r²를 넣은 것이고, 겉넓이식은 원 두 개와 가로가 밑면 둘레 2·π·r, 세로가 h인 직사각형 하나의 넓이를 더한 것입니다. 어떤 규격이나 제도가 정해 준 값이 아니라 도형의 정의에서 곧바로 따라 나오므로, 언제 어디서 계산해도 같은 숫자가 됩니다. 본문의 141.3717 · 150.7964 · 565.4867 · 414.6902 · 282.7433 · 35.3429는 모두 이 계산기에 값을 넣어 확인한 출력입니다.