정다각형 넓이·둘레 계산기

정다각형은 중심에서 만나는 n개의 합동인 이등변삼각형으로 나눌 수 있습니다. 각 삼각형의 중심각은 2π/n이며, 이를 한 변의 길이로 넓이를 구하면 분모에 tan(π/n)이 나타납니다. n이 커질수록 tan(π/n)은 작아지고, 다각형의 넓이는 같은 둘레를 가진 원의 넓이에 가까워집니다.

정n각형의 둘레를 12로 고정한 채 변의 수만 늘리면 넓이가 점점 커지면서 한 값에 가까워지는 것을 직접 확인할 수 있습니다. 계산 과정은 다음과 같습니다: 둘레가 12일 때 한 변의 길이는 12/n이므로 넓이 공식에 대입하면 넓이 = 36 / (n · tan(π/n))이 됩니다. ① 정사각형(n=4)의 넓이는 9.0000, ② 정육각형(n=6)은 10.3923, ③ 정십이각형(n=12)은 11.1962, ④ 정육십각형(n=60)은 11.4487, ⑤ n=360이면 11.4589까지 올라갑니다. 같은 둘레(12)를 가진 원의 반지름은 12 ÷ (2π) ≈ 1.9099이므로 그 원의 넓이는 π × 1.9099² ≈ 11.4592입니다 — 변의 수를 늘릴수록 정n각형의 넓이가 이 값에 한없이 가까워지는 것을 볼 수 있습니다. n이 커지면 tan(π/n)이 π/n에 한없이 가까워지기 때문에 나타나는 현상으로, 둘레가 같을 때 원이 어떤 다각형보다도 넓은 넓이를 감싼다는 사실과도 맞닿아 있습니다.

정n각형의 내각을 모두 더하면 (n−2) × 180°가 됩니다. 다각형을 한 꼭짓점에서 대각선으로 나누면 삼각형이 (n−2)개 생기고, 삼각형 하나의 내각의 합은 항상 180°이기 때문입니다. 정육각형(n=6)이라면 내각의 합은 (6−2)×180° = 720°이고, 이를 6등분한 한 내각은 120°입니다. 정팔각형(n=8)은 내각의 합이 (8−2)×180° = 1080°, 한 내각은 135°입니다. 반면 외각의 합은 변의 수와 무관하게 항상 360°입니다 — 외각은 한 변에서 다음 변으로 방향을 꺾는 각도이고, 도형의 둘레를 한 바퀴 따라가며 방향을 다 더하면 출발할 때와 같은 방향으로 정확히 한 바퀴(360°) 돌아오기 때문입니다. 정육각형은 외각이 60°씩 6개 모여 360°를 이룹니다. 두 식이 맞는지는 각도를 이미 아는 도형으로 검산하면 됩니다 — 정사각형(n=4)은 내각의 합이 (4−2)×180° = 360°, 4로 나눈 한 내각이 90°, 외각은 180°−90° = 90°이므로 네 개를 더해 360°입니다. 정삼각형(n=3)도 내각의 합 (3−2)×180° = 180°에 한 내각 60°, 외각 120°씩 세 개를 더해 360°가 됩니다.

타일처럼 정다각형만으로 평면을 틈이나 겹침 없이 채우려면(테셀레이션), 한 꼭짓점에 모이는 도형들의 내각의 합이 정확히 360°여야 합니다. 즉 한 내각의 크기가 360°의 약수여야 하는데, 정다각형의 내각 (n−2)×180°/n이 이 조건을 만족하는 n은 3, 4, 6뿐입니다: 정삼각형은 60°씩 6개(6×60=360), 정사각형은 90°씩 4개(4×90=360), 정육각형은 120°씩 3개(3×120=360)가 꼭짓점에 모입니다. 정오각형은 한 내각이 108°인데 360 ÷ 108은 정수가 아니어서 빈틈이나 겹침 없이는 채울 수 없고, 정칠각형부터는 내각이 120°를 넘어서 세 개만 모여도 360°를 넘어버립니다. 벌집이 정육각형인 것도 같은 원리와 이어집니다 — 테셀레이션이 가능한 세 도형(정삼각형·정사각형·정육각형) 중 같은 길이의 벽(밀랍)으로 감쌀 때 넓이가 가장 넓은 것이 정육각형이라, 최소한의 재료로 최대한의 저장 공간을 확보할 수 있기 때문입니다.

정다각형에는 중심에서 각 변의 중점까지 그은 내접원 반지름(아포템)과, 중심에서 각 꼭짓점까지 그은 외접원 반지름이 함께 존재합니다. 아포템은 a = s / (2 · tan(π/n)), 외접원 반지름은 R = s / (2 · sin(π/n))로 구하며, 둘은 a = R × cos(π/n)의 관계를 가집니다. 한 변이 2인 정육각형(n=6)으로 확인하면 아포템 a = 2 / (2×tan30°) ≈ 1.7321, 외접원 반지름 R = 2 / (2×sin30°) = 2.0000이고, R × cos30° = 2.0000 × 0.8660 ≈ 1.7321로 아포템과 정확히 일치합니다. 이 아포템을 알면 넓이를 원의 넓이 공식과 같은 형태로 구할 수도 있습니다: 넓이 = (1/2) × 둘레 × 아포템 = (1/2) × 12 × 1.7321 ≈ 10.3923으로, 위 탄젠트 공식으로 구한 값과 같습니다 — 원의 넓이 공식(넓이 = (1/2) × 둘레 × 반지름)과 정확히 같은 구조입니다.

정다각형의 테셀레이션 성질과 각도 특성은 실무 여러 곳에서 활용됩니다. 타일이나 바닥재 패턴은 정삼각형·정사각형·정육각형 세 가지(또는 이들을 조합한 패턴)를 기본으로 삼는 경우가 많은데, 앞서 본 것처럼 이 세 도형만 이음매 없이 맞물리기 때문입니다. 너트나 볼트 머리가 원형이 아니라 육각형인 것도 정다각형의 각도 덕분입니다 — 육각형은 60°마다 대칭이라 렌치를 물리는 각도가 여유롭고, 좁은 공간에서 렌치를 완전히 뺐다 다시 끼우지 않고 60°만 돌려 다시 물릴 수 있어 작업이 편합니다. 정자나 전통 누각의 지붕이 육각형·팔각형 평면으로 설계되는 것도, 변의 수를 늘릴수록 같은 둘레로 더 넓은 실내 공간을 확보할 수 있기 때문입니다.

이 페이지의 최종 업데이트 기준일은 2026년입니다. 정다각형의 넓이·둘레 공식 자체는 수학적으로 고정되어 있어 바뀌지 않지만, 설명과 예시 문구는 이후 갱신될 수 있습니다.