사다리꼴 넓이 공식 원리
사다리꼴은 평행한 변이 한 쌍 있는 도형입니다. 두 평행변 길이의 평균을 구하면 같은 높이를 가진 직사각형의 가로 길이가 되므로, 여기에 높이를 곱하면 정확한 넓이가 나옵니다.
- a — 윗변(평행한 두 변 중 하나)의 길이
- b — 아랫변(나머지 평행변)의 길이
- h — a와 b 사이의 수직 높이
자세한 설명
계산 과정: 윗변 4, 아랫변 6, 높이 3
위 기본값이 이 조건입니다. ① 평행한 두 변을 더합니다. 4 + 6 = 10. ② 절반으로 나눕니다. 10 ÷ 2 = 5. ③ 높이를 곱합니다. 5 × 3 = 15. 계산기의 '넓이'가 15.00으로 표시되는 것이 이 세 단계의 결과입니다. 순서를 바꿔 (4 + 6) × 3 = 30을 먼저 구한 뒤 2로 나눠도 같은 15가 나오므로, 손으로 풀 때는 나누기를 마지막에 두는 편이 분수를 피할 수 있어 편합니다.
(a+b)/2 는 그냥 평균이 아니라 실제로 존재하는 선분입니다
두 평행변의 평균 5는 계산상의 중간값에 그치지 않습니다. 사다리꼴의 두 옆변 중점을 이어 그은 선분(중점을 잇는 가로선)의 길이가 정확히 (a+b)/2 입니다. 기본값 조건이라면 높이 3의 절반인 1.5 지점을 가로지르는 선분의 길이가 딱 5입니다. 그래서 사다리꼴의 넓이는 '중간 높이에서 잰 폭 × 전체 높이'로 읽을 수 있고, 이것이 사다리꼴을 같은 넓이의 직사각형으로 바꿔 놓는 조작의 실체입니다.
옆변 길이를 묻지 않는 이유
입력칸이 세 개뿐인 것이 이상해 보일 수 있습니다. 윗변 4·아랫변 6·높이 3을 만족하는 사다리꼴은 하나가 아니라 무한히 많습니다 — 윗변을 왼쪽으로 밀어도, 오른쪽으로 밀어도, 아랫변 밖으로 삐져나가게 두어도 조건은 그대로입니다. 그런데 그 무한히 많은 도형의 넓이는 전부 15로 같습니다. 윗변을 옆으로 미는 것은 잘려 나간 삼각형을 반대쪽에 그대로 붙이는 일이라 넓이가 변하지 않기 때문입니다. 넓이만 필요하다면 옆변 정보는 처음부터 쓸모가 없습니다.
등변사다리꼴은 넓이 계산에서 특별하지 않습니다
두 옆변의 길이가 같고 밑변과 이루는 각도 같은 사다리꼴을 등변사다리꼴이라 부릅니다. 대칭이라 대각선 길이가 서로 같고 한 원 위에 네 꼭짓점이 놓이는 등 성질이 여럿 붙지만, 넓이만 보면 아무 차이가 없습니다. 윗변 4·아랫변 6·높이 3인 등변사다리꼴도, 옆변 하나가 밑변과 수직인 직각사다리꼴도 넓이는 똑같이 15입니다. 등변인지 아닌지는 옆변과 대각선을 구할 때 비로소 갈리는 조건입니다.
직사각형과 삼각형은 같은 식의 양 끝입니다
윗변과 아랫변을 같게 두면 a = b이므로 식은 (a+a)/2 × h = a × h 로 줄어들어 평행사변형·직사각형의 넓이가 됩니다. 반대로 윗변을 0에 가깝게 줄이면 (0+b)/2 × h = b×h/2 가 되어 삼각형의 넓이가 됩니다. 즉 하나의 식이 양쪽 극단에서 익숙한 두 공식으로 갈라집니다. 다만 이 계산기는 윗변이 정확히 0이면 사다리꼴이 성립하지 않는다고 보고 결과를 내지 않으므로, 삼각형 넓이는 이 식으로 유도만 확인하고 값은 따로 구해야 합니다.
경계 조건: 세 값이 모두 양수여야 합니다
윗변·아랫변·높이 중 하나라도 0이거나 음수이면 계산기는 넓이를 '—'로 두고 안내 문구를 띄웁니다. 세 칸을 비워도 같습니다. 0을 거부하는 것은 식이 무너져서가 아니라 — 0을 넣어도 산술적으로는 삼각형 넓이가 나옵니다 — 변의 길이가 0인 도형을 사다리꼴이라 부를 수 없기 때문입니다. 음수는 아예 길이로 해석할 수 없습니다. 사유가 하나 더 있습니다 — 세 값이 모두 양수여도 곱이 배정밀도 표현 범위를 넘으면(예: 셋 다 1e200) 넓이를 정확히 나타낼 수 없어 같은 '—'가 뜹니다. 한편 윗변과 아랫변의 대소 관계는 제한이 없어, 윗변이 아랫변보다 길어도(예: 6과 4) 넓이는 15로 같습니다.
오해 정정: 옆변 길이를 높이 자리에 넣으면 넓이가 부풀어 오릅니다
가장 흔한 실수는 도형에 그려진 비스듬한 옆변의 길이를 높이로 착각하는 것입니다. 윗변 4·아랫변 6·높이 3인 등변사다리꼴이라면 양옆으로 삐져나온 길이가 각각 1이므로, 옆변의 길이는 √(1² + 3²) = √10 ≈ 3.162 입니다. 이 값을 높이 자리에 넣으면 넓이가 5 × 3.162 = 15.81 이 되어 참값보다 5.4% 커집니다. 옆변이 기울수록 이 차이는 더 벌어집니다. 높이는 반드시 두 평행변 사이를 직각으로 가로지르는 거리여야 합니다.
이 계산이 전제하는 것과 기준일
이 페이지는 평면 위에 그려진 사다리꼴, 즉 평행한 변이 한 쌍인 사각형을 전제합니다. 입력한 세 값에는 단위가 없으므로 cm를 넣으면 결과는 cm², m를 넣으면 m²로 읽으면 되고, 서로 다른 단위를 섞어 넣으면 결과가 어떤 넓이도 뜻하지 않게 됩니다. 결과는 소수점 둘째 자리까지 표시되므로 (4+6)/2 × 3 은 15.00으로 나옵니다. 이 설명의 기준일은 2026년입니다. 근거: 넓이 = (a+b)/2 × h 라는 관계는 사다리꼴의 정의와 평면 넓이의 정의만으로 증명되는 항등식이라 개정되거나 폐지될 수 있는 종류의 규정이 아닙니다. 본문의 15·15.81·√10·3.162 는 이 식과 피타고라스 정리에 값을 넣어 얻은 결과이고, 15.00은 위 계산기가 기본값에서 실제로 표시하는 출력입니다.
빠른 검산. 결과가 맞는지 의심스러우면 아랫변만 남긴 직사각형과 비교해 보세요. 아랫변 6·높이 3인 직사각형은 18이고, 윗변이 4로 좁아진 만큼 15로 줄어든 것이 맞습니다.
자주 묻는 질문
윗변 4, 아랫변 6, 높이 3인 사다리꼴의 넓이는?
(4 + 6) ÷ 2 × 3 = 5 × 3 = 15 입니다. 위 기본값이 이 조건이라 계산기도 15.00을 표시합니다. 중간값 5는 두 옆변의 중점을 이은 선분의 길이와 같으므로, 높이 절반 지점에서 잰 폭이 5라고 읽어도 됩니다.
옆변 길이를 모르는데 넓이를 구할 수 있나요?
구할 수 있습니다. 윗변·아랫변·높이가 같으면 옆변이 아무리 기울어져 있어도 넓이는 항상 같기 때문입니다. 윗변을 옆으로 미는 것은 한쪽에서 잘린 삼각형을 반대쪽에 붙이는 일이라 넓이가 변하지 않습니다. 옆변 길이는 둘레나 대각선을 구할 때만 필요합니다.
높이 대신 비스듬한 옆변 길이를 넣으면 어떻게 되나요?
넓이가 실제보다 커집니다. 윗변 4·아랫변 6·높이 3인 등변사다리꼴의 옆변은 √(1²+3²) ≈ 3.162 인데, 이 값을 높이 칸에 넣으면 5 × 3.162 = 15.81 이 되어 참값 15보다 5.4% 부풀어 오릅니다. 높이는 두 평행변 사이를 직각으로 가로지르는 거리여야 합니다.
결과가 '—'로 나오는 이유는 뭔가요?
윗변·아랫변·높이 중 하나라도 0이거나 음수이거나 비어 있으면 그렇게 표시됩니다. 변의 길이가 0이면 사다리꼴이라 부를 수 없고 음수는 길이로 해석되지 않기 때문입니다. 세 값이 모두 양수여도 곱이 표현 범위를 넘을 만큼 크면(예: 셋 다 1e200) 같은 표시가 나옵니다. 그 밖에는 세 칸에 모두 0보다 큰 수를 넣으면 결과가 나타납니다.
윗변이 아랫변보다 길어도 되나요?
됩니다. 두 값은 서로 평행한 변이라는 점만 같으면 되고 대소 관계는 상관없습니다. 윗변 6·아랫변 4를 넣어도 합이 10으로 같아 넓이는 그대로 15입니다. 도형을 위아래로 뒤집은 것과 다르지 않기 때문입니다.