거리·중점 공식 원리
두 점 사이의 거리는 두 점의 x좌표 차이와 y좌표 차이를 두 변으로 하는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용해 구합니다. 중점은 두 점의 x좌표끼리, y좌표끼리 각각 평균한 좌표입니다. 이 방식으로 구한 거리의 정식 명칭은 유클리드 거리이며, 좌표평면 위 두 점을 잇는 가장 짧은 직선의 길이를 뜻합니다.
- x1, y1 — 점1의 좌표
- x2, y2 — 점2의 좌표
- d — 두 점 사이의 거리
자세한 설명
피타고라스 정리와의 관계
x좌표 차이(x2−x1)와 y좌표 차이(y2−y1)를 두 변으로 하는 직각삼각형을 그리면, 두 점을 잇는 선분이 빗변이 됩니다. 거리공식은 이 빗변의 길이를 피타고라스 정리(a²+b²=c²)로 구한 것입니다.
같은 점을 입력하거나 음수 좌표를 쓸 때
두 점의 좌표가 완전히 같으면(x1=x2, y1=y2) 거리는 정확히 0이 되며, 이는 오류가 아니라 정상적인 결과입니다. 좌표는 x·y 모두 양수·음수·0을 자유롭게 조합할 수 있습니다. 예를 들어 (-2, 3)과 (4, -1) 사이의 거리는 부호에 상관없이 같은 공식으로 계산됩니다: √((4−(−2))²+(−1−3)²)=√(36+16)=√52≈7.2111. 두 점이 같은 좌표인지 확인하는 용도로도 쓸 수 있습니다 — 거리 결과가 0이면 두 점은 완전히 겹쳐 있다는 뜻입니다.
3차원 공간으로 확장하기
이 계산기는 평면(x, y) 위의 두 점만 다룹니다. 점이 3차원 공간(x, y, z)에 있다면 z좌표 차이의 제곱을 하나 더 더해 d=√((x2−x1)²+(y2−y1)²+(z2−z1)²)로 계산합니다. 예를 들어 (0,0,0)과 (3,4,12) 사이의 3차원 거리는 √(9+16+144)=√169=13이며, 같은 두 점을 2차원으로만 보면 √25=5로 훨씬 짧게 계산되어 실제 거리를 과소평가합니다. 3차원 좌표는 입체 도형·건축 모델링·3차원 게임 공간처럼 높이(z축)까지 함께 다뤄야 하는 문제에서 나타납니다.
맨해튼 거리와는 다른 값입니다
이 계산기가 구하는 값은 두 점을 잇는 최단 직선 거리(유클리드 거리)입니다. 반면 맨해튼 거리(택시 거리)는 좌표축을 따라서만 이동한다고 가정해 |x2−x1|+|y2−y1|로 계산하며, 대각선 이동이 없는 도심 격자형 도로망 거리에 가깝습니다. (0,0)과 (3,4) 사이의 유클리드 거리는 5이지만 맨해튼 거리는 3+4=7로 더 깁니다 — 대각선 지름길이 없기 때문입니다. 실제 건물 사이를 걸어서 이동하는 거리를 어림잡을 때는 직선 거리보다 맨해튼 거리가 더 현실적인 경우가 많습니다.
지도 좌표(위도·경도)를 넣으면 얼마나 틀리나 — 서울-부산으로 실측
이 공식은 평면 직교좌표를 전제합니다. 위도·경도를 그대로 x·y 자리에 넣으면 두 가지가 한꺼번에 깨집니다. ① 경도 1°의 실제 길이는 위도가 올라갈수록 짧아집니다 — 근거: WGS84 타원체의 적도 둘레 40,075.017km ÷ 360° ≈ 111.32km이지만, 위도 36.4°에서는 111.32 × cos36.4° ≈ 89.6km까지 줄어듭니다. 위도 1°는 어디서나 약 111.3km로 거의 일정하므로 가로·세로의 눈금이 서로 다른 셈입니다. ② 지구 표면은 평면이 아니라 곡면입니다. 숫자로 확인해 보겠습니다. 서울시청(37.5665, 126.9780)과 부산시청(35.1796, 129.0756)의 좌표 차이는 위도 2.3869°, 경도 2.0976°이고, 이 계산기에 그대로 넣으면 √(2.3869² + 2.0976²) ≈ 3.1776이 나옵니다. 여기에 위도 1°당 111.3km를 곱하면 약 353.7km입니다. 반면 같은 두 점의 구면 최단거리(하버사인 공식)는 약 325.1km로, 평면 계산이 28.6km, 즉 8.8% 더 길게 나옵니다. 그래서 지도 좌표 사이의 거리는 하버사인 공식 등 구면 삼각법을 따로 적용해야 합니다. 반대로 말하면 이 계산기가 맞는 자리는 도면·화면 좌표·격자처럼 눈금 간격이 실제로 균일한 평면입니다.
실제로 어디에 쓰이나요
이 공식은 좌표평면 위에서 값을 다루는 여러 분야에서 쓰입니다. 게임에서는 캐릭터나 물체가 서로 얼마나 가까운지 판정할 때(충돌 감지) 쓰고, 지도 서비스는 화면에 표시된 두 지점의 대략적인 직선 거리를 보여줄 때 씁니다. 데이터 분석에서는 두 데이터가 얼마나 비슷한지를 수치로 나타낼 때도 같은 공식을 씁니다. 화면 설계에서는 마우스 클릭 위치와 버튼 위치의 픽셀 거리를 재는 데도 같은 방식이 쓰입니다. 다만 실제 도로 거리나 지구 위의 거리처럼 정해진 경로를 따라야 하는 경우에는 이 값이 정답이 아니라 참고용 최단 직선 거리라는 점을 기억해야 합니다.
계산 과정 — 예시로 따라가기
점 A(-2, 5)와 점 B(6, -1)의 거리를 구하는 계산 과정입니다. ① x좌표 차이: 6−(−2)=8. ② y좌표 차이: −1−5=−6. ③ 각 차이를 제곱: 8²=64, (−6)²=36. ④ 두 값을 더함: 64+36=100. ⑤ 제곱근을 취함: √100=10. 따라서 A와 B 사이의 거리는 정확히 10입니다.
빠른 검산. (0,0)과 (3,4)처럼 3-4-5 직각삼각형을 이루는 좌표를 넣으면 거리는 정확히 5가 나옵니다 — 계산기 값이 맞는지 빠르게 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
두 점 사이의 거리는 어떻게 계산하나요?
x좌표 차이와 y좌표 차이를 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취합니다(d=√((x2−x1)²+(y2−y1)²)). 예를 들어 (0,0)과 (3,4) 사이의 거리는 √(3²+4²)=√25=5입니다.
중점 좌표는 어떻게 구하나요?
두 점의 x좌표끼리, y좌표끼리 각각 평균을 냅니다(중점=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)). (0,0)과 (3,4)의 중점은 (1.5, 2)입니다.
좌표에 음수나 0을 입력해도 되나요?
네. x, y좌표는 부호와 상관없이 임의의 실수를 입력할 수 있으며, 두 점이 같은 좌표여도(거리 0) 정상적으로 계산됩니다.
이 거리공식은 3차원에서도 쓸 수 있나요?
위 공식은 2차원 평면(x, y) 전용입니다. 3차원에서는 z좌표 차이의 제곱을 더한 d=√((x2−x1)²+(y2−y1)²+(z2−z1)²) 형태로 확장해야 합니다.
위도·경도 좌표에도 이 공식을 그대로 쓸 수 있나요?
권장하지 않습니다. 이 공식은 평면(직교좌표)을 전제로 하므로 위도·경도처럼 구면 위의 좌표에 그대로 쓰면 지구 곡률 때문에 오차가 생깁니다. 아주 좁은 범위에서는 근사치로 참고할 수 있지만, 정확한 지리적 거리는 하버사인 공식처럼 구면 삼각법을 쓰는 별도 계산이 필요합니다.