신뢰구간 계산기

99% 신뢰구간은 반복 표본추출에서 모평균을 더 자주 포함해야 하므로 95%보다 넓어야 합니다 — 확신의 정도와 범위의 정밀도(좁음) 사이에는 직접적인 트레이드오프가 있습니다. 신뢰수준은 이 방법을 반복했을 때의 장기적 신뢰도를 말하는 것이지, 이 한 구간이 모평균을 포함할 확률이 아닙니다.

이 페이지의 기본값을 그대로 손계산해 보겠습니다. 1단계, 표본크기의 제곱근을 구합니다. √36=6입니다. 2단계, 표준오차는 표본표준편차를 이 제곱근으로 나눈 값이므로 15÷6=2.5입니다. 3단계, 신뢰수준 95%에 해당하는 z값 1.96을 곱해 오차범위를 얻습니다. 1.96×2.5=4.9입니다. 4단계, 표본평균에서 이 오차범위를 빼고 더합니다. 하한은 100−4.9=95.1, 상한은 100+4.9=104.9입니다. 따라서 95% 신뢰구간은 [95.100, 104.900]이고 오차범위는 ±4.900으로 표시됩니다.

표본크기는 제곱근으로만 들어오기 때문에 효과가 생각보다 더디게 나타납니다. 위 기본값에서 표본크기만 바꿔 비교하면 이렇습니다. n을 9로 줄이면 √9=3, 표준오차 15÷3=5, 오차범위 1.96×5=9.8이 되어 구간은 [90.200, 109.800]으로 벌어집니다. n을 36으로 두면 오차범위 4.9로 절반이 되고, n을 144로 네 배 늘리면 √144=12, 표준오차 1.25, 오차범위 2.45가 되어 다시 절반으로 줄어듭니다. 즉 오차범위를 절반으로 만들려면 표본을 네 배로, 4분의 1로 만들려면 열여섯 배로 모아야 합니다.

z는 표준정규분포에서 양쪽 꼬리에 남길 확률을 정하는 임계값이고, 이 계산기는 90%에 1.645, 95%에 1.96, 99%에 2.576을 씁니다. 표준오차가 2.5로 같은 위 기본 데이터에서 신뢰수준만 바꾸면 오차범위는 90%일 때 1.645×2.5=4.1125, 95%일 때 4.9, 99%일 때 2.576×2.5=6.44가 됩니다. 구간 폭으로 보면 각각 8.225, 9.8, 12.88입니다. 신뢰수준을 95%에서 99%로 올리는 대가로 구간이 약 31% 넓어지는 셈이라, 무턱대고 높은 신뢰수준을 고르면 결론이 아무것도 배제하지 못할 만큼 헐거워집니다.

표본표준편차를 정확히 0으로 넣으면 표준오차도 0이 되어 오차범위가 0이 되고, 구간은 [100.000, 100.000]처럼 한 점으로 찌그러집니다. 모든 관측값이 완전히 같다는 극단적인 가정이라 실제 자료에서는 거의 나오지 않습니다. 반대로 표본크기를 0 이하로 넣거나 표준편차에 음수를 넣으면 계산이 정의되지 않아 모든 출력이 —로 바뀝니다. 또 표본크기가 30 미만이면 결과 아래에 경고 문구가 붙는데, 이는 계산이 실패했다는 뜻이 아니라 z 근사가 구간을 실제보다 좁게 잡고 있을 수 있다는 신호입니다.

가장 널리 퍼진 오해는 [95.100, 104.900]을 두고 모평균이 이 안에 있을 확률이 95%라고 읽는 것입니다. 모평균은 값이 하나로 고정된 미지의 상수라 확률을 붙일 대상이 아니고, 확률은 표본을 뽑는 절차 쪽에 붙습니다. 정확한 해석은 같은 방식으로 표본을 100번 뽑아 100개의 구간을 만들면 그중 약 95개가 모평균을 포함한다는 것입니다. 지금 손에 든 이 구간 하나는 그 95개 중 하나이거나 나머지 5개 중 하나일 뿐, 어느 쪽인지는 알 수 없습니다.

선거 보도에 나오는 '표본오차 ±3.1%p'는 지지율 같은 비율에 대한 오차범위라 표준오차를 √(p(1−p)/n)으로 구합니다. 이 계산기는 키·점수·소득처럼 평균을 다루는 자료를 대상으로 하고 표준오차를 s/√n으로 구하므로, 같은 z를 쓰더라도 앞 단계가 다릅니다. 비율 자료에 이 계산기를 쓰려면 0과 1로 코딩한 값들의 표본표준편차를 직접 넣어야 하고, 그 값은 √(p(1−p))에 가깝게 나옵니다. 목적이 비율 추정이라면 비율 전용 계산으로 확인하는 편이 안전합니다.

z 근사는 표본표준편차 s가 모표준편차와 거의 같다고 가정합니다. 표본이 작으면 s 자체가 크게 흔들려 이 가정이 무너지고, 그 흔들림만큼 구간을 더 넓게 잡아 주는 것이 t분포입니다. t분포는 자유도가 작을수록 꼬리가 두꺼워 임계값이 커지는데, 자유도가 커질수록 z값에 수렴합니다. 이 계산기는 n이 30 미만이어도 계산을 막지 않고 z 기반 값을 보여준 뒤 경고만 붙이므로, 소표본 결과는 실제 구간의 하한선, 즉 '적어도 이만큼은 넓다'로 읽는 편이 안전합니다.

여기 나온 모든 숫자는 표본이 모집단에서 무작위로 뽑혔고 관측값끼리 독립이라는 전제 위에 있습니다. 편의표본이거나 같은 사람을 반복 측정한 자료라면 표준오차가 실제보다 작게 나와 구간이 근거 없이 좁아집니다. 또 이 계산기는 모집단이 표본에 비해 충분히 크다고 보고 유한모집단 수정계수를 적용하지 않으므로, 모집단의 상당 부분을 조사한 경우에는 구간이 실제보다 넓게 나옵니다. 이 설명의 기준일은 2026년입니다. 근거: 표준오차 s/√n과 신뢰구간 x̄±z×표준오차는 표본평균의 분포에서 유도되는 관계이고, 90·95·99%에 대응하는 1.645·1.96·2.576은 표준정규분포의 양측 임계값입니다. 어느 쪽도 특정 국가의 법령이나 고시로 정해진 값이 아니라 분포의 정의에서 나오므로 시점과 무관하게 고정입니다.