팩토리얼(계승) 계산기

0!은 0이 아니라 1로 정의합니다. 여기엔 두 가지 근거가 있습니다. 첫째, 점화식 n! = n × (n−1)!에 n = 1을 대입하면 1! = 1 × 0!이 되는데, 1! = 1이므로 앞뒤가 맞으려면 0! = 1이어야 합니다. 이 점화식을 거꾸로 따라가면 3! = 3 × 2! = 6, 2! = 2 × 1! = 2, 1! = 1 × 0! = 1로, 결국 0!이 1이어야 사슬 전체가 어긋나지 않습니다. 둘째, 조합론적으로 보면 팩토리얼은 서로 다른 물건을 순서대로 나열하는 경우의 수인데, 아무것도 없는 것(공집합)을 나열하는 방법은 '아무것도 하지 않는다'라는 단 한 가지뿐입니다. 그래서 0!은 1입니다. 이 약속 덕분에 이항계수 n! / (k!(n−k)!)이나 조합 nCr 공식이 k = 0이나 k = n일 때도 예외 없이 성립하고, 만약 0! = 0으로 정의했다면 이런 공식 전체가 0으로 무너져 아무 의미도 갖지 못했을 것입니다.

팩토리얼은 곱셈을 한 단계씩 누적하는 방식으로 계산합니다. 10!을 예로 들면 1 × 2 = 2, 2 × 3 = 6, 6 × 4 = 24, 24 × 5 = 120, 120 × 6 = 720, 720 × 7 = 5,040, 5,040 × 8 = 40,320, 40,320 × 9 = 362,880, 362,880 × 10 = 3,628,800으로 이어집니다. 이렇게 아홉 번의 곱셈을 거쳐 10! = 3,628,800이 나옵니다. 이 계산기도 같은 방식으로 n부터 1까지 차례로 곱해 결과를 구하고, 12 이하의 n에서는 그 전개식을 화면에 함께 보여줍니다.

팩토리얼은 매우 빠르게 커집니다. 5! = 120에서 10! = 3,628,800으로 3만 배 뛰고, 13! = 6,227,020,800으로 이미 10억을 넘으며, 15! = 1,307,674,368,000으로 1조를 넘어섭니다. 20! = 2,432,902,008,176,640,000에서는 약 2.43 × 10¹⁸에 달해, 64비트 부호 있는 정수가 표현할 수 있는 최댓값(약 9.22 × 10¹⁸)과 자릿수가 같아집니다. 21! = 51,090,942,171,709,440,000(약 5.11 × 10¹⁹)은 이 한계를 실제로 넘어섭니다. 이 계산기는 별도의 큰수(BigInt) 연산 없이 자바스크립트의 표준 배정밀도 실수(Number)를 그대로 사용합니다. 배정밀도 실수는 2⁵³−1(약 9,007,199,254,740,991)까지의 정수만 오차 없이 표현할 수 있어서, 18!(6,402,373,705,728,000)까지는 정확한 정수로 나오지만 19!(121,645,100,408,832,000)부터는 유효숫자 6자리로 반올림한 근삿값이 됩니다. 170!(약 7.3 × 10³⁰⁶)을 넘으면 배정밀도 실수의 표현 범위 자체를 벗어나 무한대로 처리되므로, 이 계산기는 170을 넘는 입력에 대해서는 결과 대신 값이 너무 크다는 안내를 표시합니다. 참고로 이 사이트의 순열·조합 계산기는 정확한 큰 정수가 필요해 내부적으로 BigInt를 쓰지만, 이 계산기는 결과를 6자리 유효숫자로만 보여주면 충분해 굳이 BigInt를 쓰지 않습니다.

순열과 조합은 모두 팩토리얼로 정의됩니다. n개 중 r개를 순서를 구분해 뽑는 순열은 nPr = n! / (n−r)!이고, 순서를 구분하지 않는 조합은 nCr = n! / (r!(n−r)!)입니다. nPr 공식은 첫 자리에 n가지, 둘째 자리에 n−1가지, … 이런 식으로 r번 곱한 n × (n−1) × … × (n−r+1)을 n!/(n−r)!로 간단히 쓴 것이고, nCr은 그 순열에서 뽑은 r개끼리의 순서(r!가지)를 다시 나눠 순서를 지운 값입니다. 예를 들어 로또 6/45에서 45개 번호 중 6개를 고르는 경우의 수는 45C6 = 45! / (6! × 39!) = 8,145,060가지입니다. 이렇듯 순열·조합 계산의 바탕에는 항상 n!이 있습니다. 순열·조합 자체의 다양한 조합 계산은 별도의 순열·조합 계산기에서 더 자세히 다루고, 이 페이지에서는 그 바탕이 되는 n! 값 자체와 그 성질에 집중합니다.

n이 아주 커지면 정확한 값보다 크기의 자릿수만 빠르게 가늠하고 싶을 때가 많습니다. 이때 쓰는 것이 스털링 근사(Stirling's approximation)로, n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ입니다. 예를 들어 n = 10을 대입하면 √(2π×10) × (10/e)¹⁰ ≈ 3,598,696으로, 실제값 3,628,800과 차이가 약 30,104(상대 오차 약 0.83%)에 불과합니다. n이 커질수록 이 상대 오차는 더 작아져서, 통계학·물리학에서 큰 n의 조합·확률을 다룰 때 실제 값 대신 이 근사식을 널리 씁니다. 이 계산기가 다루는 170 이하의 범위에서도, 정확한 정수 대신 자릿수만 대략 알고 싶다면 이 근사식으로 암산에 가깝게 어림잡을 수 있습니다. 출처: 스털링의 근사 공식(James Stirling, 1730).

팩토리얼의 정의를 정수가 아닌 수로까지 확장한 것이 감마 함수(Gamma function)입니다. 감마 함수는 적분 Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x−1) e^(−t) dt로 정의되고, 양의 정수에서는 Γ(n+1) = n!이 성립해 팩토리얼과 정확히 일치합니다. 이 관계 덕분에 0.5!처럼 정수가 아닌 값도 수학적으로 정의할 수 있습니다(정확히는 Γ(1.5) = √π / 2 ≈ 0.8862). 감마 함수는 통계학에서 정규분포·감마분포·카이제곱분포 같은 확률분포의 정규화 상수를 만드는 데 쓰이고, 물리학·공학의 여러 적분 계산에도 등장합니다. 다만 이 계산기는 0 이상의 정수 n만 입력받습니다. 소수나 음수를 넣으면 결과가 나오지 않는데, 이는 계산기가 감마 함수를 지원하지 않고 정수 팩토리얼만 다루도록 만들어졌기 때문입니다.