평균 계산기 (산술·기하·조화평균)

이 페이지의 기본값인 a=4, b=16으로 세 값을 차례대로 손계산해 보겠습니다. 산술평균은 두 수를 더해 2로 나누므로 (4 + 16) ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10입니다. 기하평균은 두 수를 곱한 뒤 제곱근을 씌우므로 √(4 × 16) = √64 = 8입니다. 조화평균은 2ab를 a+b로 나누므로 (2 × 4 × 16) ÷ (4 + 16) = 128 ÷ 20 = 6.4입니다. 화면에는 소수 넷째 자리까지 10.0000, 8.0000, 6.4000으로 표시됩니다. 세 값이 10 > 8 > 6.4 순으로 늘어서 있고, 원래 두 수인 4와 16 사이에 셋 다 들어와 있다는 점을 확인해 두면 다음 블록들의 성질이 눈에 들어옵니다.

임의의 두 양수에 대해 산술평균은 기하평균보다 작지 않고, 기하평균은 조화평균보다 작지 않습니다. 앞쪽 부등호는 손으로 확인할 수 있습니다. a + b − 2√(ab)는 (√a − √b)²와 같은 식이고 제곱은 음수가 될 수 없으므로 a + b는 항상 2√(ab) 이상입니다. 기본값에 넣어 보면 20 − 16 = 4이고, (√4 − √16)² = (2 − 4)² = 4로 정확히 맞아떨어집니다. 세 값이 하나로 모이는 경우는 a와 b가 같을 때뿐이며, 그때 (√a − √b)²가 0이 되어 등호가 성립합니다. 세 평균은 언제나 두 수 사이에 들어오므로, 결과가 4보다 작거나 16보다 크게 나왔다면 입력을 잘못한 것입니다.

세 평균의 차이는 ‘두 수를 같은 값으로 바꿔치기해도 무엇이 그대로 남는가’로 정리하면 선명해집니다. 산술평균은 합을 보존합니다. 4와 16을 둘 다 10으로 바꿔도 합은 20으로 같습니다. 기하평균은 곱을 보존합니다. 둘 다 8로 바꾸면 곱이 8 × 8 = 64로 원래의 4 × 16 = 64와 같습니다. 조화평균은 역수의 합을 보존합니다. 1/4 + 1/16 = 0.3125이고, 6.4를 두 번 쓴 2 ÷ 6.4도 0.3125로 같습니다. 그래서 더해서 의미가 있는 양은 산술평균, 곱해서 의미가 있는 배율은 기하평균, 역수가 의미를 갖는 비율(속력·단가·작업 속도)은 조화평균을 씁니다.

두 수의 평균에는 편리한 항등식이 하나 있습니다. 산술평균과 조화평균을 곱하면 기하평균의 제곱이 됩니다. 기본값으로 확인하면 10 × 6.4 = 64이고 8² = 64로 같습니다. 식으로 풀어도 ((a+b)/2) × (2ab/(a+b))에서 (a+b)가 약분되어 ab만 남으므로 언제나 성립합니다. 여기서 재미있는 결과가 따라옵니다. 산술평균을 기하평균으로 나눈 값과 기하평균을 조화평균으로 나눈 값이 항상 같아집니다 — 10 ÷ 8 = 1.25, 8 ÷ 6.4 = 1.25입니다. 즉 세 평균은 등비수열을 이룹니다. 주의할 점은 이 항등식이 수가 두 개일 때만 성립한다는 것입니다. 세 개 이상에서는 GM² = AM × HM이 일반적으로 깨집니다.

시속 30km와 60km로 달렸을 때의 평균 속력은 조건을 말하지 않으면 정해지지 않습니다. 같은 거리를 나눠 달렸다면 조화평균입니다. 각 구간이 120km라고 하면 앞 구간에 120 ÷ 30 = 4시간, 뒤 구간에 120 ÷ 60 = 2시간이 걸려 총 240km를 6시간에 달린 셈이고, 240 ÷ 6 = 40km/h가 나옵니다. 위 계산기에 30과 60을 넣었을 때의 조화평균과 같은 값입니다. 반대로 같은 시간씩 달렸다면 산술평균입니다. 1시간씩이면 30km와 60km를 더해 90km를 2시간에 달렸으므로 90 ÷ 2 = 45km/h입니다. 흔한 착각은 조건을 확인하지 않고 45km/h로 답하는 것인데, 거리가 같은 문제에서 두 속력이 다르면 언제나 실제보다 빠르게 나옵니다.

두 해에 걸쳐 값이 2배가 되었다가 8배가 되었다면 전체로는 2 × 8 = 16배입니다. 여기서 ‘매년 같은 배율이었다면 얼마였을까’를 묻는 것이 기하평균이고, √(2 × 8) = 4배가 답입니다. 검산하면 4 × 4 = 16으로 전체 배율과 정확히 맞습니다. 반면 산술평균인 (2 + 8) ÷ 2 = 5배를 쓰면 5 × 5 = 25배가 되어 실제 16배와 어긋납니다. 배율은 더해지는 것이 아니라 곱해지므로, 곱을 보존하는 기하평균만이 원래 결과를 되돌려 줍니다. 위 계산기에 2와 8을 넣으면 산술 5, 기하 4, 조화 3.2가 나오는데, 이 중 전체 배율 16을 복원해 주는 것은 기하평균 하나뿐입니다.

기본값 4와 16처럼 네 배 차이일 때는 10 · 8 · 6.4로 세 평균이 비교적 가깝게 모입니다. 그런데 1과 100처럼 백 배 차이를 넣으면 산술 50.5, 기하 10, 조화 1.9802로 크게 벌어집니다. 산술평균은 큰 값 100 쪽으로 끌려가고 조화평균은 작은 값 1 쪽에 바짝 붙는데, 조화평균이 역수를 다루는 탓에 작은 수의 영향을 훨씬 크게 받기 때문입니다. 다만 ‘벌어진 정도’는 절댓값 차이가 아니라 두 수의 비율로 재야 합니다. 절댓값 간격은 규모를 따라 같이 커져서, 1000과 4000은 네 배 차이인데도 산술 2500 · 조화 1600으로 간격이 900이나 되어 백 배 차이인 1과 100의 48.5보다 오히려 큽니다. 반면 산술÷기하와 기하÷조화 값은 비율만으로 정해져, 네 배 차이면 4와 16이든 1000과 4000이든 똑같이 1.25이고 백 배 차이면 5.05입니다. 반대로 두 수를 같게 만들면 이 비율이 1이 되어 세 평균은 정확히 한 값으로 겹칩니다.

이 계산기는 a와 b가 둘 다 0보다 클 때만 세 값을 표시하고, 그 밖에는 셋 다 —로 바꿉니다. 0이 섞이면 기하평균은 √0 = 0으로 무너지고 조화평균은 분자 2ab가 0이라 역시 0이 되어, 평균이라 부를 만한 정보가 남지 않습니다. 음수가 섞이면 더 나빠집니다. a = −4, b = 16이면 곱이 −64라 실수 범위에서 제곱근을 정의할 수 없고, a = −4, b = 4처럼 합이 0이 되는 경우에는 조화평균의 분모가 0이 되어 값 자체가 존재하지 않습니다. 그래서 잘못된 숫자를 내보내는 대신 —와 함께 두 수가 모두 0보다 커야 한다는 안내를 보여줍니다. 0.0001처럼 아주 작아도 0보다 크기만 하면 정상적으로 계산됩니다. 반대쪽 끝에는 자릿수 한계가 있습니다 — a와 b를 둘 다 1e154로 넣으면 조화평균의 분자 2ab가 배정밀도 상한을 넘어 조화평균이 —가 되고, 1.35e154부터는 곱 ab 자체가 넘어 기하평균도 —가 됩니다. 양수라는 조건만 갖추면 세 값이 늘 나오는 것은 아니라는 뜻입니다.

이 계산기는 수가 두 개인 경우만 다룹니다. 셋 이상의 평균도 같은 이름으로 정의되지만(산술은 n개의 합을 n으로, 기하는 곱의 n제곱근, 조화는 역수 평균의 역수), 위에서 소개한 GM² = AM × HM 같은 지름길은 두 수 전용이라 그대로 옮겨 쓰면 안 됩니다. AM ≥ GM ≥ HM은 개수와 무관하게 성립합니다. 이 설명의 기준일은 2026년이며, 세 정의와 부등식은 앞으로도 달라지지 않습니다. 근거: 세 값은 모두 a와 b만으로 정의되는 식이라 시점이나 나라와 무관합니다. AM ≥ GM은 (√a − √b)² ≥ 0을 정리하면 바로 나오고, GM ≥ HM은 위의 항등식 GM² = AM × HM에서 GM ÷ HM = AM ÷ GM이 되므로 AM ≥ GM이면 자동으로 따라옵니다. 본문의 10 · 8 · 6.4 · 40 · 1.9802는 모두 이 계산기에 실제로 값을 넣어 확인한 출력입니다.