피어슨 상관계수 계산기

높은 r은 x와 y가 직선 패턴으로 함께 움직이는 경향이 있다는 것만 보여줄 뿐, 한쪽이 다른 쪽의 원인이라는 뜻은 아닙니다. 아이스크림 판매량과 익사 사고는 둘 다 여름에 늘어 강하게 상관되지만 서로가 원인이 아니라 더운 날씨라는 제3의 요인이 둘 다를 일으킵니다. 상관관계를 인과관계로 받아들이기 전에 항상 제3의 변수·역인과·단순 우연 가능성을 먼저 따져보세요.

기본값 (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5)를 단계별로 계산해 보겠습니다. 1단계, 각 변수의 평균을 구합니다. x의 합은 1+2+3+4+5=15이므로 평균은 3, y의 합은 2+4+5+4+5=20이므로 평균은 4입니다. 2단계, 각 값에서 평균을 뺀 편차를 적습니다. x 편차는 −2, −1, 0, 1, 2이고 y 편차는 −2, 0, 1, 0, 1입니다. 3단계, 짝지어 곱해 더합니다. (−2)×(−2)=4, (−1)×0=0, 0×1=0, 1×0=0, 2×1=2이므로 합은 6이고 이것이 분자입니다. 4단계, 각 편차의 제곱합을 구합니다. x는 4+1+0+1+4=10, y는 4+0+1+0+1=6입니다. 5단계, 두 제곱합을 곱해 제곱근을 씌우면 √(10×6)=√60≈7.7460이 분모가 됩니다. 6단계, 나눕니다. 6÷7.7460≈0.7746이 이 계산기가 표시하는 r입니다.

분자 Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)는 공분산의 뼈대입니다. x가 평균보다 클 때 y도 평균보다 크면 곱이 양수로 쌓이고, 방향이 엇갈리면 음수로 상쇄됩니다. 문제는 이 값이 단위에 통째로 끌려다닌다는 점입니다. x를 센티미터에서 밀리미터로 바꾸기만 해도 분자가 열 배로 부풀어, 관계가 강해진 것인지 자를 바꾼 것인지 구분할 수 없습니다. 분모의 √(Σ(xᵢ−x̄)²·Σ(yᵢ−ȳ)²)가 바로 그 단위를 상쇄하는 장치라, r은 두 변수에 어떤 단위를 쓰든, 심지어 전부 100을 더하거나 곱해도 값이 변하지 않고 항상 −1과 1 사이에 머뭅니다.

이 계산기는 완전한 쌍이 최소 두 개 있어야 계산합니다. 그런데 쌍이 정확히 두 개이고 두 점의 x도 y도 서로 다르다면, 그 두 점을 지나는 직선이 하나뿐이라 r은 언제나 정확히 1 또는 −1로 나옵니다. 관계가 강해서가 아니라 데이터가 부족해서 나온 완벽한 값이므로 의미를 두면 안 됩니다. 또 x 값이 전부 같거나 y 값이 전부 같으면 그쪽 편차 제곱합이 0이 되어 분모가 0이 되고, 나눗셈이 정의되지 않아 결과가 —로 바뀝니다. 한 변수가 전혀 움직이지 않으면 '함께 움직이는 정도'를 잴 대상 자체가 없기 때문입니다.

r을 백분율처럼 읽어 '77% 정도 설명된다'고 말하는 경우가 많은데 틀린 해석입니다. 설명력에 해당하는 값은 r을 제곱한 결정계수 r²이고, 기본값에서는 0.7746²=0.6, 즉 60%입니다. 나머지 40%는 이 직선으로 설명되지 않는 흩어짐입니다. r²은 r에 다시 r을 곱한 값이라 r이 작아질수록 설명력이 더 가파르게 무너집니다. r=0.5면 설명력은 25%밖에 되지 않고, r=0.3이면 9%로 사실상 거의 설명하지 못합니다. 상관계수를 보고할 때 제곱값을 함께 적으면 과대해석을 막을 수 있습니다.

기본값의 마지막 쌍 (5,5)를 (5,0)으로만 바꿔 보면 r이 어떻게 변하는지 확인할 수 있습니다. y 평균이 4에서 3으로 내려가고 편차가 −1, 1, 2, 1, −3으로 재배치되면서 분자는 6에서 −4로, 분모는 √(10×16)≈12.6491로 바뀌어 r은 약 −0.3162가 됩니다. 강한 양의 관계가 중간 세기의 음의 관계로 뒤집힌 것입니다. 값 하나를 잘못 입력하거나 이상치가 하나 섞인 것만으로 결론이 정반대가 될 수 있으므로, 쌍이 적을 때는 숫자를 다시 확인하고 그 점을 뺐을 때의 r도 함께 계산해 보는 것이 좋습니다.

쌍 (−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4)를 넣으면 r은 정확히 0으로 나옵니다. 그런데 이 다섯 점은 y=x²이라는 완벽한 규칙을 따르고 있어 오차가 하나도 없습니다. 왼쪽 절반에서 쌓인 음의 곱과 오른쪽 절반에서 쌓인 양의 곱이 정확히 상쇄돼 분자가 0이 되기 때문입니다. r=0은 '관계가 없다'가 아니라 '직선 성분이 없다'는 뜻이며, U자·역U자·주기적 패턴은 모두 이 함정에 걸립니다. 그래서 r만 보고 무관하다고 결론짓기 전에 점을 찍어 눈으로 확인하는 절차가 필요합니다.

여기서 계산하는 피어슨 r은 값 자체의 편차를 쓰지만, 스피어만 상관계수는 값을 크기 순서로 바꿔 순위끼리 상관을 잽니다. 그래서 관계가 직선이 아니어도 방향만 일정하게 증가하면 스피어만은 1에 가깝게 나오고, 이상치의 크기가 아무리 커도 순위 하나만큼만 영향을 줍니다. 만족도 5점 척도처럼 간격이 균등하다고 보기 어려운 자료나 이상치가 섞인 자료에서는 순위 기반 계수가 더 안정적입니다. 이 계산기는 피어슨만 제공하므로, 자료가 그런 성격이라면 결과를 참고치로만 쓰세요.

이 계산기는 입력한 쌍들 자체를 하나의 자료로 보고 기술통계량을 계산합니다. 이 r이 모집단에서도 0이 아니라고 주장하려면 유의확률 검정이 따로 필요한데, 다섯 쌍 정도의 표본에서는 r이 0.7746이어도 통계적으로 유의하다고 말하기 어렵습니다. 또 두 변수가 서로 다른 집단에서 뽑혔거나 시간에 따라 함께 추세를 갖는 자료라면 관계가 없어도 r이 크게 나오는 허위상관이 생깁니다. 이 설명의 기준일은 2026년입니다. 근거: r의 정의식과 −1 이상 1 이하라는 범위는 코시-슈바르츠 부등식에서 곧바로 따라나오는 수학적 성질이고, 단위를 바꿔도 값이 변하지 않는 것은 분자와 분모가 같은 차원을 갖기 때문입니다. 어떤 기관의 고시나 규정이 아니라 정의에 묶인 관계이므로 시점과 무관하게 고정입니다.