주사위 두 개 합 확률 계산기

7은 (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 6가지 방법으로 만들 수 있어 다른 어떤 합보다 경우의 수가 많으며, 확률은 6/36 ≈ 16.7%입니다. 7에서 멀어질수록 순서쌍이 줄어들어, 2(=1,1)나 12(=6,6)는 각각 1가지뿐이라 1/36 ≈ 2.8%입니다.

주사위 두 개는 서로 다른 물건이라 구별됩니다 — 왼쪽 주사위와 오른쪽 주사위를 바꿔 생각하면 (1,3)과 (3,1)은 눈이 같은 두 개가 아니라 서로 다른 경우입니다. 이 구별을 빠뜨리면 (1,3)과 (3,1)을 하나로 묶어 세게 되고, 그 결과 전체 경우의 수도 36이 아니라 21이 되어 확률값이 전부 틀어집니다. 어긋나는 방향은 합마다 갈립니다 — 합 7은 6/36 = 16.67%인데 21가지로 세면 3/21 = 14.29%로 오히려 낮아지고, 합 2는 1/36 = 2.78%가 1/21 = 4.76%로 높아집니다. 3 다음 4가 나오는 것과 4 다음 3이 나오는 것을 서로 다른 경우로 세는 것이 독립시행 주사위의 표준 관례이며, 위 공식이 유도되는 방식과 일치합니다.

합이 될 수 있는 값은 2부터 12까지 11가지이고, 각 합을 만드는 순서쌍 개수를 하나씩 세면 다음과 같습니다. 2→1가지, 3→2가지, 4→3가지, 5→4가지, 6→5가지, 7→6가지, 8→5가지, 9→4가지, 10→3가지, 11→2가지, 12→1가지. 이 11개 숫자를 모두 더하면 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36으로, 두 주사위의 전체 표본공간 36과 정확히 일치합니다. 예를 들어 합 9는 (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 4가지이고, 합 5는 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 4가지로 서로 대칭을 이룹니다. 이렇게 하나씩 나열해 검산한 값이 곧 공식 6−|합−7|의 근거이며, 결과가 의심스러우면 언제든 손으로 다시 세어 맞춰볼 수 있습니다. 이 값들은 어떤 표에서 가져온 것이 아닙니다 — 근거는 위 나열 자체이고, 11개 숫자를 더해 36이 나오지 않으면 어딘가를 잘못 센 것입니다.

경우의 수를 막대그래프로 그리면 2에서 7까지 계단처럼 올라갔다가 7에서 12까지 같은 폭으로 내려오는 삼각형 모양이 됩니다. 이는 1~6이 똑같은 확률(1/6)로 나오는 두 독립변수를 더했을 때 나타나는 전형적인 형태로, 균등분포 두 개를 합치면 가운데가 볼록한 대칭 분포가 된다는 사실을 보여줍니다. 더하는 주사위 개수를 3개, 4개로 늘려 갈수록 이 뾰족한 삼각형은 점점 완만하고 매끄러운 종 모양(정규분포)에 가까워지는데, 독립적인 확률변수를 많이 더할수록 그 합의 분포가 정규분포에 가까워진다는 이 현상이 중심극한정리입니다. 주사위 두 개의 합은 그 정리를 가장 단순한 형태로 처음 접할 수 있는 예입니다. 다만 중심극한정리는 이 계산기가 계산하는 대상이 아니라 배경 설명입니다 — 화면의 값은 어디까지나 (6−|합−7|)/36 이라는 정확한 분포이고, 정규분포 근사는 쓰이지 않습니다.

삼각형 모양의 합 분포는 실제 게임 규칙 설계에 그대로 쓰입니다. 카지노의 크랩스(craps)는 첫 굴림에서 합이 7 또는 11이면 즉시 이기고 2·3·12면 즉시 지도록 규칙을 정하는데, 이는 7이 나올 확률(6/36)이 가장 높고 양 끝으로 갈수록 확률이 낮아진다는 성질을 그대로 이용한 설계입니다. 다만 즉시 지는 세 합의 확률이 서로 같지는 않습니다 — 위 나열대로 2와 12만 1/36로 최저이고 3은 그 두 배인 2/36이며, 세 값을 다 합쳐도 1/36 + 2/36 + 1/36 = 4/36으로 7 하나(6/36)보다 낮습니다. 부루마불 같은 보드게임에서 주사위 두 개의 합으로 이동 칸 수를 정하는 것도 같은 원리로, 7 근처 칸에 도달할 확률이 가장 높다는 점을 밸런스에 반영합니다. 방식은 다르지만 윷놀이의 도·개·걸·윷·모 결과도 모든 경우가 똑같은 확률로 나오도록 설계돼 있지 않다는 점에서, 균등하지 않은 확률분포를 규칙에 반영한다는 발상을 공유합니다.

직전 열 번 동안 합이 7이 한 번도 안 나왔다고 해서 다음 번에 7이 나올 확률이 올라가지는 않습니다. 주사위는 이전 결과를 기억하지 못하는 독립시행이므로, 방금 어떤 합이 나왔든 다음 굴림에서 7이 나올 확률은 언제나 6/36으로 동일합니다. “오랫동안 안 나왔으니 이번엔 나올 차례”라는 생각은 도박사의 오류(gambler's fallacy)라 불리며 통계적으로 근거가 없습니다. 이 계산기가 보여주는 확률은 매 시행마다 독립적으로 적용되는 값이지, 과거 기록을 반영해 조정되는 값이 아닙니다.