부채꼴 계산기

부채꼴의 경계는 굽은 호만이 아니라, 원에서 잘라낸 두 직선 반지름까지 포함한 닫힌 도형입니다 — 피자 조각에 두 직선 가장자리가 포함되는 것과 같습니다. 그래서 둘레 = 호의 길이 + 2r이지, 호의 길이만이 아닙니다.

현은 호의 양 끝점을 잇는 최단 직선이고, 호는 가장자리를 따라 굽어진 경로입니다. θ가 아주 작을 때만 둘이 비슷해지고, θ가 커질수록 호가 현에서 멀어집니다. θ = 180°에서는 현이 지름(2r)이 되지만 호는 반원의 둘레(πr)가 되어 서로 다른 값입니다.

기본값 r = 10, θ = 90°를 대입해 네 값을 차례로 구해 보겠습니다. 먼저 중심각이 한 바퀴에서 차지하는 비율을 구합니다 — 90 ÷ 360 = 0.25, 즉 4분의 1입니다. 호의 길이는 원 전체 둘레에 이 비율을 곱한 값이라 2 × π × 10 × 0.25 = 5π = 15.70796326이 되어 15.7080으로 표시됩니다. 넓이도 같은 비율을 곱해 π × 10² × 0.25 = 25π = 78.53981633, 표시는 78.5398입니다. 부채꼴 둘레는 호에 두 반지름을 더해 15.70796326 + 20 = 35.70796326이므로 35.7080이고, 현은 2 × 10 × sin(45°)에 sin(45°) ≈ 0.70710678을 넣어 14.14213562, 표시는 14.1421입니다.

θ만 90°에서 180°로 바꿔 보면 무엇이 비례하고 무엇이 아닌지 한눈에 드러납니다. 호는 15.7080에서 31.4159로 정확히 두 배가 되고 넓이도 78.5398에서 157.0796으로 정확히 두 배입니다. 두 값 모두 θ/360이라는 비율이 그대로 곱해지기 때문입니다. 반면 현은 14.1421에서 20으로 늘어 약 1.414배에 그칩니다 — 현에서는 θ가 sin 안쪽에 들어가 있어 비례하지 않기 때문입니다. 둘레도 35.7080에서 51.4159가 되어 두 배가 아닌데, 반지름 몫인 20이 각과 무관하게 고정이기 때문입니다.

중심각이 0° 이하이거나 360° 이상이면 네 값이 모두 줄표로 바뀝니다. 0°는 두 반지름이 겹쳐 잘라낸 조각이 없고, 360°는 이미 원 전체라 두 반지름이 다시 겹쳐 호와 두 반지름을 더한다는 둘레의 정의가 성립하지 않기 때문입니다. 359.9°는 정상적으로 계산되어 호가 62.8144, 둘레가 82.8144로 나옵니다. 반지름 역시 0보다 커야 하며, 반지름이나 각 자리에 숫자가 아닌 값이 들어가도 결과가 비게 됩니다.

기본값에서 호는 15.7080, 둘레는 35.7080이라 호가 차지하는 몫은 15.7080 ÷ 35.7080 ≈ 44%로 절반에 못 미칩니다. 두 반지름이 더해 주는 20이 호보다 오히려 길기 때문입니다. 각이 작아질수록 이 불균형은 커집니다 — θ = 30°이면 호는 5.2360, 둘레는 25.2360이라 호의 몫이 21%로 떨어집니다. 반대로 각이 커지면 호의 몫이 커져 θ = 270°에서는 호 47.1239, 둘레 67.1239로 약 70%가 됩니다.

각을 라디안으로 두면 호의 길이가 단순히 반지름 × 각이 됩니다. 90°를 라디안으로 바꾸면 90 × π ÷ 180 = π/2 ≈ 1.57079633이고, 여기에 반지름 10을 곱하면 15.70796326으로 위에서 구한 호의 길이와 정확히 같습니다. 넓이도 라디안에서는 0.5 × r² × 각이라 0.5 × 100 × 1.57079633 = 78.53981633이 됩니다. 다만 이 계산기의 입력칸은 도 단위를 받으므로, 라디안 값을 갖고 있다면 180/π ≈ 57.29578을 곱해 도로 바꾼 뒤 넣어야 합니다.

현 공식 2r·sin(θ/2)에서 θ/2는 도 단위입니다. 기본값이면 90 ÷ 2 = 45°이고 sin(45°)는 2의 제곱근의 절반인 약 0.70710678이라 현은 14.1421이 나옵니다. 그런데 공학용 계산기나 스프레드시트 함수는 기본이 라디안인 경우가 많아, 라디안 모드에서 sin(45)를 넣으면 0.85090352라는 전혀 다른 값이 나오고 현이 17.0181로 계산됩니다. 값이 이상하면 각도 모드부터 의심하세요. 이 계산기는 내부에서 도를 라디안으로 바꾼 뒤 sin을 적용하므로 그런 혼동이 생기지 않습니다.

이 계산기는 평면 위의 부채꼴 하나만 다룹니다. 활꼴(현과 호로 둘러싸인 부분)이나 구면 위의 조각은 다른 식을 씁니다 — 참고로 활꼴 넓이는 부채꼴 넓이에서 두 반지름이 이루는 삼각형의 넓이를 뺀 값이라 기본값이면 78.5398 − 50 = 28.5398입니다. 이 페이지 설명의 기준일은 2026년이며, 네 공식은 모두 중심각의 비례 관계와 이등변삼각형의 성질에서 따라 나오는 것이라 시간이 지나도 달라지지 않습니다. 근거: 위 계산 과정에서 얻은 넓이 78.53981633을 원 전체 넓이 314.15926536으로 나누면 정확히 0.25가 되고, 호 15.70796326을 원 전체 둘레 62.83185307로 나누어도 같은 0.25가 나옵니다. 두 비율이 90 ÷ 360과 일치한다는 점이 이 페이지의 모든 숫자를 뒷받침합니다.