표준편차·분산 계산기

표본의 평균 자체도 같은 데이터로부터 추정된 값이라, 데이터가 실제 모평균보다 이 표본평균에 조금 더 가깝게 몰려 있게 됩니다 — 그래서 n으로 나누면 실제 퍼짐 정도를 과소평가하게 됩니다. n−1로 나누는 베셀(Bessel) 보정은 이 편향을 상쇄하며, 완전한 모집단 전체를 다룰 때가 아니라 표본으로 모집단을 추정할 때만 의미가 있습니다.

위 계산기의 기본 데이터는 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9입니다. 첫 단계는 평균이며 모두 더하면 40, 개수 8로 나누면 평균은 5입니다. 두 번째 단계는 각 값에서 평균을 뺀 편차로 −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4가 나옵니다. 세 번째 단계는 편차를 제곱해 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16을 얻고 모두 더하면 32입니다. 여기까지는 두 방식이 완전히 같고, 마지막 나눗셈에서만 갈립니다. 모분산은 32 ÷ 8 = 4이고 제곱근을 씌우면 모표준편차 2.0000, 표본분산은 32 ÷ 7 = 4.5714이고 제곱근을 씌우면 표본표준편차 2.1381입니다. 기준 선택의 기본값이 표본이므로 맨 위 큰 숫자에는 2.1381이 뜹니다.

표본표준편차를 모표준편차로 나눠 보면 2.1381 ÷ 2 = 1.0690이 나옵니다. 이 값은 √(8/7)과 정확히 같으며, 값이 전부 같아 두 표준편차가 모두 0이 되는 경우만 빼면 개수가 같을 때 언제나 이 비가 나옵니다. 두 계산이 분자를 공유하고 분모만 n과 n−1로 다르기 때문입니다. 그래서 개수가 적을수록 두 값의 차이가 커집니다. n이 2면 √2 = 1.4142라 표본 쪽이 41% 크고, n이 8이면 6.9% 크며, n이 30이면 1.0171로 1.7%, n이 100이면 1.0050으로 0.5%까지 줄어듭니다. 표본이 충분히 크면 어느 쪽을 골랐는지가 결과에 거의 영향을 주지 않는다는 뜻이고, 반대로 값이 서너 개뿐일 때는 선택이 결과를 크게 흔듭니다.

n−1로 나누면 표준편차가 편향 없는 추정값이 된다고 설명되는 일이 많지만, 정확히 말하면 그 보정이 편향을 없애 주는 대상은 분산입니다. 표준편차는 분산에 제곱근을 씌운 값인데 제곱근은 위로 볼록한 함수라, 분산이 편향 없이 추정되더라도 그 제곱근의 기댓값은 실제 표준편차보다 조금 작아집니다. 즉 표본표준편차는 여전히 모표준편차를 평균적으로 아주 조금 과소추정합니다. 이 잔여 편향을 없애려면 표본 크기별로 정해진 별도의 보정 계수를 한 번 더 곱해야 하며, 그 편향의 크기는 n이 커질수록 빠르게 0에 가까워져 실무에서는 대개 무시합니다. 다만 n−1을 썼으니 완전히 공정해졌다고 말하는 것은 과장입니다.

빈 칸은 계산에서 아예 제외되므로 개수(n)는 실제로 채워진 칸만 셉니다. 여덟 칸을 다 쓸 필요가 없고 필요 없는 칸은 비워 두면 됩니다. 값을 하나만 남기면 모표준편차는 0.0000으로 나오지만 표본표준편차는 —가 됩니다. 점 하나는 자기 자신과의 퍼짐이 없어 0이 맞지만, 표본 쪽은 n−1이 0이 되어 나눗셈이 성립하지 않기 때문입니다. 이때 기준을 표본으로 둔 상태라면 맨 위 대표값도 —로 비고 분산 역시 —가 됩니다. 반대로 값을 여러 개 넣되 전부 같은 숫자로 채우면 편차가 모두 0이라 두 표준편차가 모두 0.0000이 되고 평균만 그 숫자로 표시됩니다. 즉 0이라는 결과는 데이터가 없다는 뜻이 아니라 퍼짐이 없다는 뜻입니다.

표준편차 2.1381이라는 숫자만으로는 크다 작다를 말할 수 없습니다. 같은 2.1381이라도 평균이 5인 데이터에서는 평균 대비 43%나 흔들린다는 뜻이지만, 평균이 500인 데이터에서는 0.4%밖에 안 되는 미세한 흔들림입니다. 그래서 서로 단위나 규모가 다른 두 집단을 비교할 때는 표준편차를 평균으로 나눈 값을 씁니다. 기본 데이터로 계산하면 2.1381 ÷ 5 = 0.4276이므로 약 43%이고, 이는 값들이 평균 주변에 상당히 넓게 흩어져 있다는 신호입니다. 시험 점수처럼 단위가 같은 두 반을 비교할 때는 표준편차를 그대로 견주어도 되지만, 키와 몸무게처럼 단위가 다르면 반드시 이 상대적인 비교로 바꿔야 합니다.

이 페이지는 통계학의 표준 정의를 그대로 따릅니다. 분산은 평균으로부터의 편차를 제곱해 평균 낸 값이고, 표준편차는 그 제곱근입니다. 제곱을 하는 이유는 편차를 그냥 더하면 양수와 음수가 상쇄돼 항상 0이 되기 때문이며, 다시 제곱근을 씌우는 이유는 단위를 원래대로 되돌려 평균과 같은 축에서 비교하기 위해서입니다. 이 정의는 특정 기관의 지침이나 연도별 기준이 아니라 수학적 정의이므로 시간이 지나도 값이 갱신되지 않습니다. 이 페이지 설명의 기준일은 2026년이며, 바뀔 수 있는 것은 정의가 아니라 여러분이 넣는 데이터뿐입니다. 근거: 평균 = Σx ÷ n, 모분산 = Σ(x − 평균)² ÷ n, 표본분산 = Σ(x − 평균)² ÷ (n − 1), 표준편차 = √분산. 위 블록의 40, 32, 4, 2.0000, 4.5714, 2.1381은 모두 이 네 줄에 기본 데이터를 대입해 얻은 값이며 계산기에서 그대로 확인됩니다.