소인수분해 계산기

산술의 기본정리에 따라 어떤 방식으로 나누어 가도 결국 같은 소수·지수 조합에 도달합니다. 60은 언제나 2² × 3 × 5이며, 2 × 3 × 5²처럼 다른 조합이 될 수 없습니다. 이 유일성 덕분에 소인수분해는 최대공약수(GCD)·최소공배수(LCM) 계산의 기초가 됩니다.

만약 1을 소수로 인정하면 60은 2² × 3 × 5뿐 아니라 1 × 2² × 3 × 5, 1² × 2² × 3 × 5처럼 1을 몇 번이든 곱한 식으로도 똑같이 나타낼 수 있어, 소인수분해가 더 이상 유일하지 않게 됩니다. 산술의 기본정리가 성립하려면 소인수분해가 정확히 한 가지 방식이어야 하므로, 1은 소수에서 제외됩니다. 근거: 이 정의는 중학교 수학 소인수분해 단원에서 다루는 표준 규약입니다.

이 계산기는 n을 2부터 차례로 나눠보며, 나눠떨어지는 만큼 계속 나눈 뒤 다음 후보(3, 4, 5…)로 넘어갑니다. 제곱근까지 나눠본 뒤 남은 값이 1보다 크면 그 자체가 소수이므로 마지막 소인수로 추가합니다.

84의 소인수분해 계산 과정은 이렇습니다. 가장 작은 소수 2로 나눕니다: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21. 21은 2로 나누어지지 않으므로 다음 소수 3으로 넘어갑니다: 21 ÷ 3 = 7. 남은 7은 더 이상 나눌 수 없는 소수이므로 그대로 마지막 인수가 됩니다. 지수로 정리하면 84 = 2² × 3 × 7입니다.

소인수분해를 알면 곱셈 한 번으로 전체 약수의 개수를 구할 수 있습니다. 72 = 2³ × 3²이므로, 각 지수에 1을 더한 값을 모두 곱하면 됩니다: (3+1) × (2+1) = 4 × 3 = 12개. 실제로 72의 약수를 나열하면 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72로 정확히 12개입니다. 같은 원리로 최대공약수·최소공배수도 두 수를 각각 소인수분해한 뒤 지수를 비교해 구할 수 있습니다 — 자세한 계산은 최대공약수·최소공배수 계산기를 이용하세요.

이 계산기처럼 2, 3, 4, 5, 6, 7…로 후보를 하나씩 차례로 나눠보는 시험 나눗셈은 숫자가 수십~수백 자리로 커지면 슈퍼컴퓨터로도 사실상 끝나지 않는 시간이 걸립니다. 반면 두 소수를 곱하는 계산은 자릿수가 아무리 커도 순식간에 끝납니다. 곱하기는 쉽고 되돌려 소인수분해하기는 어렵다는 이 비대칭성이 RSA 공개키 암호의 안전성을 떠받치는 수학적 토대입니다.

일정 범위 안의 소수를 모두 찾을 때는 이 계산기처럼 한 수씩 나눠보는 대신 에라토스테네스의 체를 씁니다. 2부터 시작해 아직 지우지 않은 가장 작은 수를 소수로 남기고 그 배수를 전부 지우는 과정을 반복하는 방식입니다. 예를 들어 30까지라면 2의 배수(4, 6, 8…)를 지우고, 다음으로 남은 3의 배수(9, 15, 21…)를 지우는 식으로 진행해 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29라는 소수 10개가 남습니다.

소인수분해가 언제나 가능하려면 애초에 소수가 끊임없이 존재해야 합니다. 이를 뒷받침하는 것이 소수가 유한하다는 가정에서 모순을 이끌어내는 유클리드의 증명입니다. 소수가 p₁, p₂, …, pₙ으로 유한하다고 가정하고, 이들을 모두 곱한 뒤 1을 더한 수 N = p₁ × p₂ × … × pₙ + 1을 만듭니다. N을 나열된 소수 중 어느 것으로 나누어도 나머지가 항상 1이 남으므로, N은 나열된 소수 어느 것으로도 나누어떨어지지 않습니다. 그런데 산술의 기본정리에 따르면 1보다 큰 모든 자연수는 소인수를 가지므로, N도 소인수를 가져야 하고 그 소인수는 처음에 나열하지 않은 새로운 소수여야 합니다. 이는 '소수는 유한하다'는 처음 가정과 모순되므로, 소수는 무한히 많다는 결론에 이릅니다. 근거: 이 증명은 유클리드의 원론에 실린 고전적 증명으로, 오늘날에도 정수론 교과서에서 다루는 표준 정리입니다.

이 페이지의 최종 업데이트 기준일은 2026년입니다. 산술의 기본정리와 소인수분해 원리, 그리고 유클리드가 증명한 소수의 무한성은 수학적으로 고정되어 있어 앞으로도 바뀌지 않지만, 설명과 예시 문구는 이후 더 읽기 쉽게 갱신될 수 있습니다.