이차방정식 계산기

ax² + bx + c = 0(a≠0)의 양변을 a로 나누면 x² + (b/a)x = −c/a가 됩니다. 여기에 완전제곱식을 만들기 위해 양변에 (b/2a)²를 더하면 좌변은 (x + b/2a)²로 묶이고, 우변은 (b² − 4ac)/4a²가 됩니다. 양변에 제곱근을 씌우고 x에 대해 정리하면 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a라는 근의공식이 나옵니다. 근거: 이는 등식을 양쪽에서 똑같이 변형해 나가는 대수적 과정일 뿐이므로, a≠0인 한 계수가 어떤 값이든 항상 성립합니다 — 공식을 외우지 않아도 이 과정을 다시 밟으면 매번 같은 답에 도달합니다. 이 유도의 핵심은 '완전제곱식 만들기'라는 한 가지 조작뿐이라는 점입니다 — 새로운 정리나 규칙을 끌어오지 않고, 이미 아는 곱셈공식 (x+k)² = x² + 2kx + k²을 거꾸로 이용하는 것이 전부입니다.

근의공식에서 D = b² − 4ac는 제곱근 기호 안의 값입니다. 실수 범위에서 제곱근은 음수에 대해 정의되지 않으므로, D의 부호가 그대로 실근의 존재 여부를 결정합니다. D > 0이면 서로 다른 두 실근, D = 0이면 두 근이 겹치는 중근(포물선이 x축에 정확히 접하는 지점), D < 0이면 실근이 없고 대신 두 개의 켤레복소수(허근)를 갖습니다. 이 계산기는 D < 0일 때 판별식 값은 그대로 보여주되, 근1·근2 칸에는 실수로 나타낼 수 없다는 뜻에서 '—'만 표시합니다 — 허수부까지 포함한 복소수 근의 실제 숫자값은 이 계산기가 직접 계산해 주지 않으므로, 필요하면 위 공식에 D를 대입해 x = −b/2a ± i√|D|/2a 형태로 손으로 구해야 합니다. 예를 들어 x² + 4x + 13 = 0은 D = 16 − 52 = −36으로 음수이므로 이 계산기 화면에는 판별식 −36만 표시되고 근1·근2는 '—'로 나오지만, 손으로 계속 풀면 x = −4/2 ± √36/2·i = −2 ± 3i라는 두 켤레복소수 근을 얻을 수 있습니다.

a = 2, b = −7, c = 3을 근의공식에 대입하는 계산 과정을 순서대로 밟아 보겠습니다. 먼저 D = b² − 4ac = (−7)² − 4×2×3 = 49 − 24 = 25이고, D가 양수이므로 서로 다른 두 실근이 나옵니다. √25 = 5이므로 x = (7 ± 5) / 4, 즉 x = 12/4 = 3 또는 x = 2/4 = 0.5입니다. 원래 식에 대입해 검산하면 2×3² − 7×3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0이고, 2×0.5² − 7×0.5 + 3 = 0.5 − 3.5 + 3 = 0으로 두 근 모두 등식을 정확히 만족합니다. 위 계산기에 a=2, b=−7, c=3을 넣으면 같은 값이 나오는지 바로 확인할 수 있습니다.

두 근 x₁, x₂은 계수와 직접적인 관계를 가집니다: 두 근의 합 x₁ + x₂ = −b/a, 두 근의 곱 x₁ × x₂ = c/a입니다. 위 2x² − 7x + 3 = 0 예에서 확인해 보면, 두 근의 합 3 + 0.5 = 3.5이고 −b/a = 7/2 = 3.5로 일치합니다. 두 근의 곱은 3 × 0.5 = 1.5이고 c/a = 3/2 = 1.5로 역시 일치합니다. 중근일 때도 같은 방식이 통합니다 — x² − 4x + 4 = 0은 D = 16 − 16 = 0으로 x = 2가 중근이 되는데, 이때는 두 근이 같으므로 x₁ + x₂ = 2 + 2 = 4이고 −b/a = 4/1 = 4, x₁ × x₂ = 2 × 2 = 4이고 c/a = 4/1 = 4로 역시 정확히 일치합니다. 근의공식을 손으로 풀고 나서 이 두 식에 값을 넣어 보는 것이 판별식부터 다시 계산하는 것보다 훨씬 적은 연산으로 계산 실수를 잡아내는 방법입니다.

2x² − 7x + 3 = 0은 인수분해로도 풀립니다: 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3)이므로 2x − 1 = 0 또는 x − 3 = 0에서 곧바로 x = 0.5 또는 x = 3이 나오며, 근의공식으로 얻은 답과 같습니다. a=1이고 곱해서 c, 더해서 b가 되는 정수 쌍을 눈으로 찾을 수 있을 때는 인수분해가 더 빠릅니다. 다만 근의공식은 근이 무리수이거나 허수여도 항상 통하는 반면, 인수분해는 정수(또는 간단한 유리수) 근을 가질 때만 손으로 빠르게 찾을 수 있다는 차이가 있습니다. 실전에서는 먼저 몇 초만 인수분해를 시도해 보고, 정수 쌍이 바로 안 보이면 미루지 말고 근의공식으로 넘어가는 편이 시간을 아낍니다 — 시험이나 숙제처럼 시간 제한이 있는 상황일수록 이 순서가 유리합니다.

b²이 4ac보다 훨씬 크면 −b + √(b² − 4ac)를 계산할 때 크기가 비슷한 두 수를 빼는 자릿수 손실(catastrophic cancellation)이 일어나 작은 쪽 근의 정밀도가 크게 떨어집니다. 예를 들어 a=1, b=100000000, c=1을 이 계산기 방식(root1 = (−b+√D)/2a)으로 그대로 계산하면 −7.45058e-9가 나오지만, 실제 참값은 −1e-8에 가까워 상대 오차가 약 25%나 됩니다. 원인은 이 경우 √D(≈99999999.99999999)가 b(=100000000)와 소수점 아래 몇 자리까지 거의 같아서, 두 수를 빼는 순간 유효숫자 대부분이 사라지고 부동소수점이 표현할 수 있는 자릿수만 남기 때문입니다. 이럴 때는 절댓값이 큰 근을 x_큰 = (−b − sign(b)√D) / 2a로 먼저 안정적으로 구하고, x_작은 = c / (a × x_큰)으로 비에트의 곱 관계를 이용해 작은 근을 구하면 자릿수 손실 없이 정확한 값을 얻습니다. 계수 차이가 크지 않은 대부분의 문제에서는 체감되지 않지만, b가 매우 크고 a·c가 작을 때는 이 방식으로 다시 계산해 보는 것이 안전합니다. 이는 근의공식 자체의 결함이 아니라 컴퓨터가 실수를 유한한 자릿수로만 저장하는 데서 오는 한계이며, 손으로 계산할 때는 나타나지 않습니다.