삼각함수 값 계산 원리
단위원에서 x축 양의 방향부터 잰 각도 θ가 원 위에서 만나는 점의 좌표가 (cos θ, sin θ)입니다. 나머지 네 함수는 sin θ·cos θ의 비율과 역수로 만들어집니다.
- θ — 입력 각도(도 또는 라디안)
- sin θ, cos θ — 단위원 위 점의 y, x 좌표
- tan θ — sin θ ÷ cos θ — cos θ = 0이면 정의되지 않음
- csc θ, sec θ, cot θ — 각각 1/sin θ, 1/cos θ, cos θ/sin θ
자세한 설명
왜 "—"로 표시될 때가 있나요
tan θ와 sec θ는 cos θ로 나누므로 cos θ = 0인 90°, 270°, 즉 90°+180°n마다 정의되지 않습니다. csc θ와 cot θ는 sin θ로 나누므로 0°, 180°, 즉 180°n마다 정의되지 않습니다. 이 계산기는 그런 경우 잘못된 숫자 대신 "—"를 표시합니다.
이 계산기가 쓰는 정의 — 단위원 좌표
이 계산기가 쓰는 sin θ·cos θ 정의는 반지름이 1인 단위원 위에서 각 θ가 가리키는 점의 좌표(cos θ, sin θ)를 그대로 읽는 방식입니다. 이렇게 정의하면 직각삼각형으로는 그릴 수 없는 각(음수·둔각·360°를 넘는 각)까지 같은 방식으로 확장됩니다. 0°~90° 구간에서는 직각삼각형의 변의 비(대변÷빗변, 밑변÷빗변)로 배우는 정의와 값이 일치하는데, 30°로 검산하면 확인됩니다 — 빗변 2·높이 1·밑변 √3인 직각삼각형에서 sin 30° = 1 ÷ 2 = 0.5, cos 30° = √3 ÷ 2 ≈ 0.8660이고, 단위원 위 30°의 좌표도 (√3/2, 1/2) = (약 0.8660, 0.5)로 같습니다. 이 정의 방식 덕분에 직각삼각형만으로는 다룰 수 없는 0°·90°·180° 같은 경계각까지 매끄럽게 계산할 수 있습니다 — 예를 들어 각이 0°인 삼각형은 존재하지 않지만, 단위원 위 점은 (1, 0)에 그대로 있으므로 sin 0° = 0, cos 0° = 1이 자연스럽게 나옵니다.
탄젠트가 90°에서 발산하는 이유
직각삼각형에서 tan θ는 높이(대변)를 밑변으로 나눈 값입니다. θ가 90°에 가까워질수록 삼각형은 옆으로 눕고 밑변은 점점 짧아지는데, 높이는 거의 줄지 않습니다. 짧아지는 수로 거의 줄지 않는 수를 나누면 값은 한없이 커지고, 90° 정각에서는 밑변이 아예 0이 되어 나눗셈 자체가 성립하지 않습니다. 단위원으로 보면 같은 이야기입니다 — cos 90° = 0이므로 tan θ = sin θ / cos θ의 분모가 0이 되어 정의되지 않습니다. 이 계산기가 90°(및 270°, 즉 90°+180°n)에서 tan·sec 칸에 "—"를 표시하는 이유가 바로 이 발산입니다. 반대로 sin θ는 분모가 아니라 좌표값 자체라 90°에서도 멀쩡히 1이 나옵니다. 이런 급격한 증가 성질 때문에 지붕의 물매나 도로의 경사각처럼 기울기를 각도로 표현하는 실무 계산에서도 tan은 완만한 각도 구간에서만 안정적으로 쓰입니다.
도(°)와 라디안, 그리고 특수각 값
라디안은 반지름과 같은 길이의 호를 마주 보는 중심각을 1라디안으로 정의합니다. 원 한 바퀴(360°)의 호 길이는 2π×반지름이므로 360° = 2π 라디안, 즉 180° = π 라디안입니다. 도를 라디안으로 바꾸려면 π/180을 곱하고, 반대로는 180/π를 곱합니다. 자주 쓰는 특수각은 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2입니다. 0°까지 넣어 다섯 각으로 보면 sin 값이 0, 0.5, √2/2, √3/2, 1로 분자가 √0, √1, √2, √3, √4(=2)로 규칙적으로 커지는 패턴이라 √n/2 꼴로 외우면 편합니다 — 이 다섯 각에서 cos 값은 sin 값을 정확히 뒤집은 순서와 같습니다.
계산 과정 — 30°·45°·60°의 사인·코사인·탄젠트 구하기
60°처럼 특수각의 값은 아래 계산 과정으로 직접 구할 수 있습니다. ① 한 변이 2인 정삼각형을 반으로 갈라 빗변 2, 밑변 1, 높이 √3인 직각삼각형을 만듭니다(60° 각이 있는 쪽). ② sin은 빗변 대비 높이이므로 sin 60° = √3 ÷ 2 ≈ 0.8660입니다. ③ cos은 빗변 대비 밑변이므로 cos 60° = 1 ÷ 2 = 0.5입니다. ④ tan은 sin ÷ cos이므로 tan 60° = 0.8660 ÷ 0.5 = √3 ≈ 1.7321입니다. 같은 삼각형을 각도만 바꿔 읽으면 30°도 나옵니다 — 이번엔 밑변과 높이가 자리를 바꿔 sin 30° = 1 ÷ 2 = 0.5, cos 30° = √3 ÷ 2 ≈ 0.8660, tan 30° = 0.5 ÷ 0.8660 = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774가 되며, 그래서 sin 30° = cos 60°, cos 30° = sin 60°처럼 값이 서로 맞바뀝니다. 45°는 정사각형의 대각선으로 구합니다 — 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선은 피타고라스 정리로 √2이므로, 직각이등변삼각형에서 sin 45° = cos 45° = 1 ÷ √2 = √2/2 ≈ 0.7071이고 두 변의 길이가 같아 tan 45° = 1이 정확히 나옵니다. 이렇게 세 각 모두 도형에서 직접 유도되는 값이라 반올림 없는 정확값이며, 계산기 각도 입력란에 30·45·60을 차례로 넣어 같은 값이 나오는지 확인할 수 있습니다. csc·sec·cot 값도 같은 계산 결과의 역수이므로 바로 이어서 구할 수 있습니다 — 60°라면 csc 60° = 2 ÷ √3 ≈ 1.1547, sec 60° = 2 ÷ 1 = 2, cot 60° = 1 ÷ √3 ≈ 0.5774입니다.
도 vs 라디안. 단위 필드를 바꾸면 위 각도값을 다르게 해석합니다 — 숫자를 변환하는 게 아니라 재해석합니다. 30도와 π/6 라디안은 같은 각이지만, π/6를 0.5236으로 반올림해 넣으면 실제로는 30.0001°가 되어 여섯 값 중 cot θ만 1.7321 대신 1.7320으로 나옵니다. 여섯 값을 모두 같게 하려면 0.5235988처럼 자리를 더 넣으세요. sin θ 아래 줄에 다른 단위로 환산한 각도가 함께 표시되므로 입력값이 30도에서 얼마나 벗어나는지 바로 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
30도의 사인·코사인·탄젠트 값은 얼마인가요?
sin 30° = 0.5, cos 30° ≈ 0.8660, tan 30° ≈ 0.5774입니다. 이 값은 계산기의 기본값이므로 단위를 '도'로 두고 30을 입력하면 그대로 확인됩니다.
90도에서는 왜 탄젠트 값이 안 나오나요?
tan θ = sin θ / cos θ인데 cos 90° = 0이라 분모가 0이 되어 값이 정의되지 않습니다. 이 계산기는 90°(및 90°+180°n마다)에서 tan·sec를 "—"로 표시합니다.
라디안 단위로 계산하려면 어떻게 하나요?
단위 필드를 '라디안'으로 바꾸고 라디안 값을 그대로 입력하세요. 예를 들어 π/6를 0.5235988까지 넣으면 30도와 같은 6개 값이 나옵니다. 흔히 쓰는 근삿값 0.5236은 30도가 아니라 30.0001°라서, 그만한 차이로도 cot θ가 1.7320으로 한 자리 어긋납니다. sin θ 아래 줄에서 다른 단위로 환산한 각도를 바로 볼 수 있습니다.
코시컨트·시컨트·코탄젠트는 어떻게 구하나요?
csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ입니다. cot θ = cos θ/sin θ이며, tan θ가 정의된 곳에서는 1/tan θ와 같습니다 — tan θ가 정의되지 않는 90°에서도 cot θ는 0으로 정의됩니다. 30°라면 sin = 0.5이므로 csc = 2, cos ≈ 0.8660이므로 sec ≈ 1.1547, tan ≈ 0.5774이므로 cot ≈ 1.7321입니다.
각도가 음수이거나 360°를 넘으면 값이 어떻게 되나요?
sin θ와 cos θ는 360°(2π)마다, tan θ와 cot θ는 180°(π)마다 똑같은 값이 반복됩니다 — 예를 들어 sin 400° = sin(400°-360°) = sin 40°입니다. 음수 각은 시계 방향으로 잰 각으로, sin(-30°) = -sin 30° = -0.5처럼 부호가 뒤집히지만(홀함수) cos(-30°) = cos 30°처럼 부호가 그대로인 경우도 있습니다(짝함수). 예를 들어 tan 210° = tan(210°-180°) = tan 30°처럼, tan θ는 sin θ·cos θ와 달리 360°가 아니라 180°마다 같은 값이 반복된다는 점이 다릅니다. 이 계산기 각도 입력란에 210을 넣어 tan 30°와 같은 값이 나오는지 직접 확인할 수 있습니다.