복소수 사칙연산 계산기

복소수 나눗셈은 분자·분모에 분모의 켤레복소수(c−di)를 곱해 분모를 c²+d²이라는 실수로 만든 뒤 계산합니다. 이 과정에서 c²+d²이 0이면(즉 z₂ = 0) 나눗셈 자체가 정의되지 않아 결과가 “—”로 표시됩니다.

실수 범위에서 x²=−1이라는 방정식은 풀리지 않습니다. 어떤 실수를 제곱해도 결과는 0 이상이기 때문입니다. 수학자들은 이 방정식에 답을 주기 위해 i²=−1을 만족하는 새로운 수 i를 정의했고, 실수 a와 허수 bi를 더한 a+bi 꼴을 복소수라 부르기로 했습니다. 자연수에서 정수로, 정수에서 유리수로, 유리수에서 실수로 수 체계가 넓어질 때마다 이전 범위에서 풀리지 않던 방정식이 새로 풀렸는데, 복소수는 그 확장의 종착점에 해당합니다. 근거: 대수학의 기본정리(Fundamental Theorem of Algebra) — 복소수 계수를 갖는 상수 아닌 다항식은 반드시 복소수 범위 안에 근을 가진다는 정리이고, 가우스가 1799년 학위논문 『Demonstratio nova theorematis…』에서 첫 증명을 제시했습니다. 즉 x²=−1을 풀려고 i를 들여왔더니 x²=i처럼 그다음에 나올 방정식들까지 전부 같은 범위 안에서 풀려 버려, 다항방정식을 풀기 위해 수 체계를 더 넓힐 필요가 없어졌다는 뜻입니다. 다만 이는 「다항방정식의 해」라는 목적에 한정된 종착점이고, 사원수처럼 다른 목적으로 더 확장된 수 체계는 따로 존재합니다.

복소평면에서 복소수 a+bi는 원점에서 뻗은 점 (a, b)로 나타낼 수 있고, 원점으로부터의 거리(모듈러스)와 실수축과 이루는 각(편각)으로도 표현할 수 있습니다. 두 복소수를 곱하면 모듈러스는 서로 곱해지고 편각은 서로 더해집니다. 예를 들어 허수단위 i는 모듈러스 1, 편각 90°이므로 어떤 수에 i를 곱하면 크기는 그대로 두고 90°만큼 반시계방향으로 회전시킵니다. i를 두 번 곱하면 90°+90°=180° 회전이 되어 부호가 뒤집히는데, 이것이 i²=−1이 기하학적으로 의미하는 바입니다.

복소수 a+bi의 절댓값(모듈러스)은 |a+bi| = √(a²+b²)로 정의되며, 복소평면에서 원점 (0,0)부터 그 점 (a, b)까지의 직선거리를 뜻합니다. 실수부와 허수부를 두 변으로 하는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용한 값과 같습니다. 예를 들어 3+4i의 절댓값은 √(3²+4²)=√25=5인데, 이는 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형의 빗변과 같습니다.

복소수 a+bi의 켤레복소수는 허수부의 부호만 바꾼 a−bi입니다. 두 수를 곱하면 (a+bi)(a−bi)=a²+b²로 허수부가 사라지고 항상 실수가 되는데, 이 성질이 나눗셈에서 분모를 유리화(실수화)하는 데 쓰입니다. 또한 절댓값의 제곱과도 같아서 |a+bi|²=(a+bi)(a−bi)=a²+b²가 성립합니다. 예를 들어 3+4i의 켤레복소수는 3−4i이고, 둘을 곱하면 9+16=25로 앞서 구한 절댓값 5의 제곱과 일치합니다.

복소수는 직교형식 a+bi 대신 극형식 r(cosθ+i sinθ)으로도 쓸 수 있으며, 오일러 공식 e^(iθ)=cosθ+i sinθ을 이용하면 re^(iθ)로 더 간단히 표기할 수 있습니다. 극형식에서는 곱셈·나눗셈이 모듈러스끼리의 곱·나눗셈과 편각끼리의 덧셈·뺄셈으로 바뀌어 직교형식보다 계산이 훨씬 단순해집니다. 예를 들어 1+i는 모듈러스 √2, 편각 45°(π/4)이므로 극형식으로 √2 e^(iπ/4)로 나타낼 수 있고, 거듭제곱을 구할 때(드무아브르 정리) 특히 편리합니다.

전기공학에서는 저항과 리액턴스를 합쳐 임피던스 Z=R+jX(전류와 혼동을 피하려 i 대신 j를 씁니다)라는 복소수로 표현해 교류 회로를 대수적으로 계산합니다(리액턴스 자체의 계산은 이 레포의 리액턴스 계산기를 참고하세요). 신호처리에서는 고속푸리에변환(FFT)이 신호를 복소지수함수의 합으로 분해해 주파수 성분을 구하고, 제어공학에서는 시스템의 극점(pole)이 복소평면에서 어디 있는지로 안정성을 판단합니다 — 극점의 실수부가 음수면 시스템이 안정합니다.