로그 계산기

1은 몇 제곱을 해도 항상 1이므로, 밑이 1인 로그는 1 이외의 어떤 x에도 도달할 수 없습니다 — 유일한 해가 없어 정의되지 않습니다. 음수 밑도 제외됩니다: 분수 지수로 음수를 거듭제곱하면 실수 범위를 벗어난 결과가 나오므로, 실수 로그는 b > 0을 요구합니다. 같은 이유로 x > 0도 필요합니다 — 양수 밑을 아무리 거듭제곱해도 0이나 음수는 나오지 않기 때문입니다. 이 계산기가 밑에 1이나 0 이하를 입력했을 때 결과란에 "—"만 보여주는 것도 이 정의를 그대로 따른 것입니다.

밑이 10인 상용로그(log₁₀)는 자릿수 계산과 과학적 표기에 쓰입니다 — 양수 N의 상용로그의 정수 부분에 1을 더하면 N의 자릿수와 같아서, log₁₀(12345) ≈ 4.09이므로 12345가 5자리 수임을 바로 알 수 있습니다. 밑이 e(≈2.71828)인 자연로그(ln)는 미분해도 자기 자신이 되는 유일한 지수함수 eˣ와 짝을 이루기 때문에, 복리·인구 증가·방사성 붕괴처럼 연속적으로 변하는 양을 다루는 미적분·통계 모델 전반에서 표준으로 쓰입니다. 밑이 2인 이진로그(log₂)는 정보이론에서 정보량을 비트 단위로 재는 단위이자 이진 탐색·정렬 알고리즘의 시간복잡도 O(log₂n)을 나타낼 때 씁니다 — 원소 100만 개를 이진 탐색하면 log₂(1,000,000) ≈ 19.93이므로 최대 20번의 비교로 찾아낼 수 있습니다.

대부분의 계산기는 상용로그와 자연로그 버튼만 있어 log₃(81)처럼 임의의 밑은 바로 계산할 수 없습니다. 이럴 때 밑변환 공식 log_b(x) = ln(x) / ln(b)를 쓰면 어떤 밑이든 자연로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있습니다. 계산 과정은 다음과 같습니다: log₃(81)을 구하려면 먼저 ln(81) ≈ 4.394449, ln(3) ≈ 1.098612를 각각 구하고, 4.394449 ÷ 1.098612 ≈ 4를 얻습니다. 실제로 3⁴ = 81이므로 답이 정확히 맞아떨어집니다. 자연로그 대신 상용로그로 같은 계산을 해도 결과는 같습니다: log₁₀(81) ≈ 1.908485, log₁₀(3) ≈ 0.477121이고 1.908485 ÷ 0.477121 ≈ 4로 동일하게 나옵니다. 이 계산기는 내부적으로 같은 공식을 써서 밑 칸에 1이 아닌 양수를 넣기만 하면 즉시 계산합니다.

로그의 핵심 성질 중 하나는 log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)으로, 곱셈을 덧셈으로 바꿔 줍니다. 전자계산기가 없던 17세기에는 이 성질이 실용적으로 매우 중요했습니다 — 스코틀랜드의 존 네이피어가 1614년 로그를 고안한 뒤 헨리 브릭스가 오늘날의 상용로그표를 만들었고, 이 표 덕분에 큰 수의 곱셈·나눗셈을 손쉬운 덧셈·뺄셈으로 바꿔 계산할 수 있었습니다. 로그자(계산자, slide rule)는 이 원리를 눈금자 위에 구현한 도구로, 눈금 간격을 로그 비례로 새겨 두 자를 나란히 밀어 더하기만 해도 곱셈 결과를 읽을 수 있었고, 1970년대 전자계산기가 보급되기 전까지 항해·공학·천문 계산의 표준 도구였습니다. 근거: 고등학교 수학Ⅰ 지수와 로그 단원에서 다루는 로그의 곱셈정리와 그 역사적 배경입니다.

상용로그는 여러 실생활 측정 단위의 스케일 자체로 쓰입니다. 소리 크기를 나타내는 데시벨(dB)은 음압을 기준값 대비 상용로그로 압축한 값이라 10dB 차이는 소리 에너지가 10배 차이 난다는 뜻입니다. 산성도를 나타내는 pH는 수소이온농도의 상용로그에 음수를 취한 값이라 pH가 1 낮아질 때마다 수소이온농도는 10배 커집니다 — pH 4인 용액은 pH 5인 용액보다 산성이 10배 강합니다. 지진 규모를 나타내는 리히터 규모도 진폭의 상용로그를 쓰므로 규모가 1 커질 때마다 지진파 진폭은 10배, 방출 에너지는 약 31.6배 커집니다. 주식 차트에서 로그 스케일을 쓰면 세로축의 같은 간격이 같은 배율을 의미하게 되어, 1,000원이 2,000원으로 오른 상승과 10,000원이 20,000원으로 오른 상승이 그래프 위에서 같은 높이로 표시됩니다 — 등락률을 시각적으로 정확히 비교할 수 있는 이유입니다.

y = log_b(x) 그래프(b > 1)는 x가 0에 가까워질수록 y값이 한없이 작아져(음의 무한대로 발산) y축에 닿지 않고 y축을 점근선으로 삼습니다. 이는 b^y = x에서 y를 아무리 작은 음수로 잡아도 b^y는 항상 양수이기 때문입니다 — 밑 b가 양수인 한 b의 어떤 실수 제곱도 0이나 음수가 될 수 없습니다. 그래서 x = 0이나 x < 0을 진수로 넣으면 그 값을 만들어내는 실수 지수 y가 존재하지 않아 로그가 정의되지 않고, 이 계산기는 이런 입력에 "—"를 표시합니다.

로그의 정의와 밑변환 공식은 수학적 사실이라 바뀌지 않습니다. 다만 이 페이지의 설명·예시·표기는 갱신될 수 있으므로 최종 업데이트 기준일은 2026년입니다. 계산 정밀도에는 한계가 있습니다. 이 계산기는 컴퓨터의 배정밀도 부동소수점으로 계산하므로 유효숫자가 대략 15~16자리이며, 그보다 미세한 차이는 표현되지 않습니다. 특히 진수가 1에 아주 가까울 때(예: 1.0000001) 로그값이 0에 매우 가까워지면서 상대 오차가 커질 수 있습니다. 또 밑변환 공식으로 계산할 때는 나눗셈이 한 번 더 들어가므로 오차가 조금 더 누적됩니다. 손으로 검산하고 싶다면 결과를 지수로 되돌려 원래 진수가 나오는지 확인하는 것이 가장 확실합니다.