등차수열 계산기

Sₙ은 첫째항과 마지막 항(a₁ + aₙ)을 짝짓는데, 수열 양 끝에서 짝을 이루는 다른 모든 쌍도 같은 값을 갖습니다 — 그래서 n/2를 곱하면 항을 하나씩 더하지 않고도 합을 구할 수 있습니다. 1부터 100까지 빠르게 더하는 원리와 같습니다.

등차수열의 합 공식은 두 가지 모습으로 씁니다. Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 는 마지막 항 aₙ 값을 이미 구해 놓았을 때 곧바로 쓸 수 있는 형태이고, Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n−1)d) 는 aₙ을 따로 계산하지 않고 첫째항 a₁과 공차 d만으로 합을 구하고 싶을 때 씁니다. 두 식은 서로 다른 공식이 아니라 aₙ = a₁ + (n−1)d를 앞 식에 그대로 대입하면 뒤 식이 나오는 하나의 관계입니다. 두 식이 같은 값을 주는지는 직접 확인할 수 있습니다 — 첫째항 3, 공차 4, 항 수 5인 수열 3, 7, 11, 15, 19에서 앞 식은 5 × (3 + 19)/2 = 55, 뒤 식은 5/2 × (2×3 + 4×4) = 5/2 × 22 = 55이고, 다섯 항을 그냥 더해도 3+7+11+15+19 = 55입니다.

9살의 가우스가 1부터 100까지 더하라는 문제를 받고 곧바로 5050을 답했다는 일화가 있습니다. 1과 100, 2와 99, 3과 98처럼 양 끝에서부터 짝을 지으면 각 쌍의 합이 101로 똑같아지고, 그런 쌍이 50개 나오므로 101 × 50 = 5050이 됩니다. 이 계산 과정을 공식으로 옮기면 a₁=1, d=1, n=100인 등차수열에서 a₁₀₀ = 1 + (100−1)×1 = 100이고, Sₙ = 100 × (1+100)/2 = 5050으로 정확히 같은 값이 나옵니다. 항의 개수가 홀수여서 정확히 반으로 짝지어지지 않을 때는 가운데 항 하나가 남는데, 그 가운데 항은 등차중항의 성질에 따라 (a₁+aₙ)/2와 같은 값을 가지므로 짝수일 때와 똑같은 공식이 그대로 성립합니다.

공차 d가 양수면 수열이 증가하고(예: 1, 3, 5, 7, …), 음수면 감소합니다(예: 10, 7, 4, 1, …). 공차가 0이면 모든 항이 a₁과 같은 상수수열이 됩니다.

등차수열에서 이웃한 세 항 a, b, c가 있다면 가운데 항 b는 양옆 항의 평균, 즉 b = (a+c)/2를 만족합니다. 이를 등차중항이라 부릅니다. 예를 들어 2, b, 14가 등차수열을 이루면 b = (2+14)/2 = 8이고, 실제로 2, 8, 14는 공차 6인 등차수열이 맞습니다. 이 성질을 쓰면 항 하나가 비어 있어도 양옆 두 항만으로 그 값을 바로 구할 수 있습니다.

등차수열은 생활 속에서도 자주 나타납니다. 매달 같은 금액씩 늘려 적금을 넣는 경우가 그렇습니다 — 첫 달에 10만 원을 넣고 매달 2만 원씩 늘린다면, 각 달 납입액은 첫째항 10만 원, 공차 2만 원인 등차수열이 됩니다. 12개월을 채우면 12번째 달 납입액은 a₁₂ = 10 + (12−1)×2 = 32만 원이고, 12개월간 총 납입액은 Sₙ = 12 × (10+32)/2 = 252만 원입니다. 반대로 공차가 음수인 예도 있습니다. 옛 극장처럼 앞줄에 30석이 있고 뒷줄로 갈수록 2석씩 줄어드는 좌석 배열이라면, 앞줄부터 세었을 때 공차가 −2인 등차수열입니다. 두 예 모두 aₙ = a₁ + (n−1)d로 n번째 값을 그대로 구할 수 있습니다.

Sₙ을 구할 때 흔히 하는 실수가 마지막 항 aₙ에 항수 n을 그대로 곱하는 것입니다. n × aₙ은 모든 항이 aₙ과 같다고 가정한 값이라 실제 합보다 훨씬 큽니다. 예를 들어 a₁=1, d=2, n=5이면 a₅=9이므로 n×aₙ=45이지만, 실제 합은 Sₙ=25에 불과합니다. 등차수열의 각 항은 서로 다르므로, 합은 aₙ 하나가 아니라 첫째항과 마지막 항의 평균에 항수를 곱해야 정확합니다.

등차수열의 정의는 정수만 요구하지 않으므로 첫째항이나 공차가 소수여도 그대로 성립합니다. 예를 들어 a₁=1.5, d=0.5, n=4이면 1.5, 2, 2.5, 3이 되고, aₙ과 Sₙ 모두 위 공식 그대로 정확히 구해집니다. 다만 항의 순서를 나타내는 n 자체는 여전히 1 이상의 정수여야 하며, 공차가 0이면 모든 항이 a₁과 같아지는 상수수열이 됩니다(예: a₁=5, d=0, n=4 → 5, 5, 5, 5, Sₙ=20).

어떤 수열이 등차수열인지 확인하려면 이웃한 항끼리의 차이가 항상 같은지를 봅니다. 예를 들어 3, 7, 11, 15는 차이가 4, 4, 4로 일정하므로 등차수열이지만, 3, 7, 12, 15는 차이가 4, 5, 3으로 일정하지 않아 등차수열이 아닙니다. 등차수열이 아니면 위 aₙ·Sₙ 공식은 적용할 수 없으므로, 계산기에 값을 넣기 전에 이웃한 항의 차이부터 손으로 한 번 확인해 보는 것이 안전합니다.

등차수열의 일반항과 합 공식은 수열의 정의에서 바로 따라 나오는 항등식이라 시점이나 나라에 따라 달라지지 않습니다. 이 설명의 기준일은 2026년이지만, 그것은 문장을 다듬은 시점을 뜻할 뿐 공식이 바뀔 수 있다는 뜻은 아닙니다. 근거: 기본값 a₁ = 1, d = 2, n = 5로 직접 확인할 수 있습니다. 항을 나열하면 1, 3, 5, 7, 9이므로 다섯째 항은 9이고, 일반항 공식 a₁ + (n−1)d = 1 + 4 × 2 = 9와 일치합니다. 합은 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25이고, 합 공식 n(a₁ + aₙ) ÷ 2 = 5 × (1 + 9) ÷ 2 = 25와 일치합니다. 두 공식 모두 항을 직접 더한 값과 같으므로 종이에서 그대로 검산됩니다.