거듭제곱·제곱근 계산기

근거: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ이 지수 전체의 출발점입니다. 이 법칙이 지수가 자연수일 때뿐 아니라 0, 음수, 분수일 때도 그대로 성립해야 한다면, 다른 정의는 선택이 아니라 강제됩니다. 먼저 m=e, n=0을 대입하면 aᵉ × a⁰ = aᵉ⁺⁰ = aᵉ이므로, a⁰은 반드시 1이어야 aᵉ을 그대로 유지합니다(a≠0). 다음으로 지수를 e와 −e로 두면 aᵉ × a⁻ᵉ = aᵉ⁻ᵉ = a⁰ = 1이 되어, a⁻ᵉ은 aᵉ의 역수, 즉 1/aᵉ일 수밖에 없습니다. 같은 방식으로 a^(1/2) × a^(1/2) = a^(1/2+1/2) = a¹ = a이므로, a^(1/2)은 제곱해서 a가 되는 수, 곧 제곱근 √a입니다. 세 정의 모두 '그렇게 약속했다'가 아니라 지수법칙 하나를 계속 쓰기 위해 자연스럽게 도출된 결과입니다.

0⁰은 수학에서 하나로 정해지지 않은 값입니다. 조합론이나 멱급수에서는 0⁰ = 1로 두는 쪽이 계산이 매끄러워 관례로 굳어 있습니다. 반면 xʸ의 극한으로 접근하면 (x, y)가 (0, 0)에 가까워지는 경로에 따라 값이 0에 가까워지기도 하고 1에 가까워지기도 해서, 극한 관점에서는 정해지지 않는 부정형으로 분류됩니다. 즉 0⁰은 정의를 하기 나름이지 계산으로 유일하게 정해지는 값이 아닙니다. 이 계산기는 자바스크립트의 Math.pow(0, 0)을 그대로 사용하며 그 결과는 1입니다. 그래서 밑에 0, 지수에 0을 입력하면 거듭제곱 칸에는 1이 표시됩니다. 이런 이유로 계산기·프로그래밍 언어마다 0⁰ 처리 방식이 다를 수 있으니, 결과를 그대로 믿기보다 어떤 규칙을 쓰는지 확인하는 편이 안전합니다.

2를 열 번 그대로 곱하면 아홉 번의 곱셈이 필요하지만, 지수법칙 aᵐ⁺ⁿ = aᵐ × aⁿ을 이용해 지수를 반으로 쪼개면 훨씬 적은 곱셈으로 같은 값을 구할 수 있습니다(거듭제곱에 의한 빠른 거듭제곱). 2¹ = 2, 2² = 2×2 = 4, 2⁴ = 4×4 = 16, 2⁸ = 16×16 = 256까지 세 번만 제곱하고, 마지막에 2⁸ × 2² = 256 × 4 = 1,024를 한 번 더 곱하면 끝입니다 — 곱셈 네 번으로 2¹⁰ = 1,024가 나옵니다. 다른 방식으로 봐도 2⁵ = 32이고 2¹⁰ = 32² = 1,024로 값이 같습니다. 같은 방법을 음의 지수와 분수 지수에도 적용할 수 있습니다. 3⁻² = 1/3² = 1/9 = 0.111…이고, 8^(2/3)은 세제곱근을 먼저 구한 뒤 제곱하는 것과 같아 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4입니다. 세 값 모두 아래 계산기에 밑과 지수를 그대로 입력해 재현할 수 있습니다.

괄호가 있는지 없는지에 따라 결과가 완전히 달라집니다. (−2)²은 −2를 통째로 제곱한 값이라 (−2) × (−2) = 4이지만, 괄호 없이 −2²이라고 쓰면 지수가 2에만 걸리고 마이너스 부호는 나중에 붙기 때문에 −(2²) = −4가 됩니다. 거듭제곱이 단항 부호보다 먼저 계산되는 연산 순서 때문에 생기는 차이이며, 수식을 계산기나 프로그램에 옮겨 적을 때 가장 흔히 나는 실수입니다. 분수 지수로 가면 문제가 하나 더 있습니다. (−8)^(1/3)은 실수 범위에서 세제곱해서 −8이 되는 수, 즉 −2가 분명히 존재합니다((−2)³ = −8). 하지만 이 계산기를 포함한 대부분의 계산기는 밑이 음수이고 지수가 정수가 아니면 결과를 정의하지 않습니다 — 음수인 밑을 소수 지수로 올리는 연산 자체가 실수 범위를 벗어나기 쉽기 때문입니다. 실제로 이 계산기에 밑 −8, 지수 0.333…을 입력하면 거듭제곱 칸에는 −2가 아니라 '—'가 표시됩니다. 또한 밑이 음수이면 제곱근 출력 칸도 정의되지 않아 항상 '—'로 남습니다. 부호와 소수 지수를 함께 입력할 때는 이 두 가지를 미리 염두에 두는 편이 좋습니다.

지수가 커질수록 값이 기하급수적으로 불어나는 것은 밑이 1보다 클 때 이야기입니다. 2¹⁰ = 1,024지만 2²⁰은 그 천 배가 넘는 약 100만이고, 2³⁰은 다시 천 배가 되어 약 10억이 됩니다. 밑이 0과 1 사이면 방향이 정반대로 뒤집혀 지수가 커질수록 0에 가까워집니다 — 0.5¹⁰ = 0.000976563이고 0.5²⁰은 그 천 분의 일 수준인 9.53674×10⁻⁷입니다. 이 계산기가 쓰는 자바스크립트 배정밀도 실수는 2⁵³ − 1 = 9,007,199,254,740,991까지의 정수만 오차 없이 표현하는데, 2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616은 자릿수부터 이미 그 한계를 훌쩍 넘어섭니다. 그래서 큰 지수를 입력하면 화면의 숫자는 유효숫자 6자리로 반올림한 근삿값이지 마지막 자리까지 정확한 값이 아니며, 2¹⁰⁰은 정확히 쓰면 서른한 자리 숫자입니다. 위쪽 끝도 있습니다 — 밑 2에서는 지수 1023까지만 8.98847×10³⁰⁷ 같은 값이 나오고, 1024부터는 배정밀도로 표현할 수 있는 범위를 넘어 거듭제곱 칸이 '—'로 바뀝니다.

정의를 코드로 직접 확인한 결과는 다음과 같습니다. 밑과 지수에 0을 넣으면 1이 나오고(0⁰ = 1로 처리), 밑이 음수이고 지수가 정수가 아니면 거듭제곱 칸은 '—'로 표시되며, 제곱근 출력은 밑이 0 이상일 때만 계산되고 그 외에는 항상 '—'입니다. 지수의 반대 방향 연산, 즉 몇 제곱해야 이 값이 나오는지를 구하는 것은 로그이며 이 사이트의 로그 계산기에서 다룹니다. 위 항목들은 이 문서를 작성하며 이 계산기의 실제 소스 코드를 직접 읽어 하나하나 확인한 내용입니다.