분수 계산기

분수 사칙연산은 시간에 따라 변하지 않는 수학 공식이므로 특정 기준일이 없습니다. 이 계산기의 공식과 결과는 언제나 동일하게 적용됩니다.

분자·분모를 그대로 계산하면 기약분수가 아닌 경우가 많습니다 — 예를 들어 1/2 + 1/3은 바로 5/6이 나오지만, 조합에 따라 분자·분모에 공통 인수가 남는 경우가 흔합니다. 분자와 분모를 최대공약수(GCD)로 나누면 값은 그대로 유지한 채 가장 간단한 형태로 줄일 수 있습니다.

통분은 분모가 다른 두 분수를 같은 분모로 맞추는 과정이고, 약분은 계산이 끝난 뒤 분자와 분모를 공약수로 나눠 더 간단한 형태로 줄이는 과정입니다. 이 계산기는 덧셈·뺄셈에서 두 분모를 곱해 통분하고, 사칙연산 전체의 결과를 분자·분모의 최대공약수로 약분해 돌려줍니다. 분모의 곱보다 더 작은 공통분모가 필요하다면 두 분모의 최소공배수를 쓰면 되는데, 이 값은 최대공약수와 서로 맞물려 있어 최대공약수를 구하면 자동으로 따라 나옵니다.

분자가 분모보다 크거나 같은 분수를 가분수라 하고(예: 7/4), 정수와 진분수를 나란히 쓴 형태를 대분수라 합니다(예: 1과 3/4). 계산 중간 단계에서는 통분·약분이 쉬운 분수 형태로 두는 것이 유리해, 이 계산기도 결과를 대분수로 바꾸지 않고 분수 그대로 보여줍니다. 다만 늘 가분수가 되는 것은 아닙니다 — 분자의 절댓값이 분모보다 크거나 같으면 가분수(1/4 + 5/6 → 13/12)로, 작으면 진분수(1/2 + 1/3 → 5/6)로 나오고, 약분한 분모가 1이 되면 분수 대신 정수만 표시합니다(1/2 + 1/2 → 1). 대분수가 필요하면 분자를 분모로 나눠 몫을 정수부로, 나머지를 새 분자로 쓰면 됩니다(7/4 → 몫 1, 나머지 3 → 1과 3/4). 결과가 음수라면 부호를 먼저 떼고 절댓값으로 같은 나눗셈을 한 뒤 전체 앞에 −를 다시 붙입니다(−7/4 → −(1과 3/4)). 기약분수는 분자·분모의 공약수가 1뿐이어서 더는 약분할 수 없는 분수를 뜻하며, 이 계산기가 내놓는 결과는 항상 이 상태로 정리됩니다.

분수 a/b는 b×x=a를 만족하는 x를 나타낸 것인데, b가 0이면 0×x는 항상 0이라서 a가 0이 아닌 한 그런 x가 존재하지 않고, a도 0이면 모든 x가 답이 되어 하나로 정해지지 않습니다. 두 경우 모두 값을 하나로 특정할 수 없으므로 분모가 0인 분수는 정의되지 않습니다. 나눗셈에서도 같은 문제가 생깁니다 — 두 번째 분수의 역수를 곱해야 하는데, 분자가 0인 분수는 역수 자체가 존재하지 않기 때문입니다. 이 계산기는 두 경우를 모두 감지해 숫자 대신 “—”를 반환합니다.

① 두 분모 4와 6을 곱해 공통분모 24를 만들고, 1/4은 6/24로, 5/6은 20/24로 바꿉니다. ② 분자끼리 더합니다: 6/24 + 20/24 = 26/24. ③ 26과 24의 최대공약수 2로 나눠 13/12로 약분합니다. ④ 13은 12보다 크므로 가분수이며, 대분수로 쓰면 1과 1/12입니다. 위 계산기에 분자1=1, 분모1=4, 분자2=5, 분모2=6, 연산=더하기를 입력하면 같은 13/12가 결과란에 나오는지 바로 검산할 수 있습니다.

기약분수의 분모를 소인수분해했을 때 2와 5만 남으면 소수점 이하 자리가 어느 지점에서 끊기는 유한소수가 되고, 2와 5 이외의 소인수(3, 7, 11…)가 하나라도 남으면 같은 숫자 배열이 끝없이 반복되는 순환소수가 됩니다. 예를 들어 3/8은 분모가 2³이라 0.375로 끝나지만, 1/3은 분모가 3이라 0.333…으로 반복되고, 1/6은 분모가 2×3이라 0.1666…으로 반복됩니다. 이 계산기의 소수 출력란은 순환소수라도 소수점 넷째 자리에서 반올림해 근사값만 보여주므로, 정확한 값이 필요할 때는 소수가 아니라 분수 결과를 그대로 쓰는 것이 안전합니다.

요리 계량컵의 3/4컵을 반으로 줄이면 3/4 ÷ 2 = 3/8컵이 되는데, 계량컵 눈금이 보통 1/4컵·1/3컵 단위라 이런 분수 계산 없이는 정확한 눈금을 못 찾습니다. 목공·건축 도면에서는 인치를 소수 대신 1/2, 3/8, 1/16인치처럼 분수로 표기하는 관행이 남아 있어, 드릴 비트나 렌치 규격도 분수 인치로 표시됩니다. 확률에서도 주사위 한 개를 던져 짝수가 나올 확률은 3/6을 약분한 1/2처럼 분수 그대로 답하는 것이 관례입니다.

1/3을 소수로 옮기면 0.3333…을 어느 자리에서든 끊어야 해서 항상 아주 작은 오차가 남고, 그 근사값을 3배 하면 0.9999가 되어 정확한 1과 어긋납니다. 분수는 나눗셈을 실행하지 않고 분자·분모 상태로 두기 때문에 이런 반올림 오차가 아예 생기지 않으며, 통분·약분만으로 정확한 값을 유지합니다. 손으로 검산해 보면 틈이 그대로 보입니다 — 0.3333 × 3 = 0.9999로 1보다 0.0001 모자라고, 자리를 늘려 0.333333 × 3 = 0.999999로 해도 여전히 모자랍니다. 어느 자리에서 끊든 이 틈은 작아질 뿐 사라지지 않는 반면, 분수로 계산한 1/3 × 3은 3/3 = 1로 정확히 떨어집니다.