원 계산기

반지름을 2배로 하면 지름과 둘레는 2배가 되지만 넓이는 4배가 됩니다. 넓이 공식에만 반지름이 두 번 곱해지기 때문입니다. 반지름 5인 원의 넓이는 78.5398인데 반지름 10이면 314.1593으로 정확히 네 배입니다. 지름 30cm 피자 한 판이 지름 15cm 피자 두 판보다 양이 많은 이유가 이 제곱 관계입니다 — 반지름이 두 배라 넓이는 네 배인데, 작은 판을 둘 합쳐도 두 배에 그칩니다.

기본값 r = 5를 그대로 넣어 세 값을 손으로 구해 보겠습니다. 지름이 가장 쉽습니다 — 반지름의 두 배이므로 2 × 5 = 10이고 화면에는 소수 둘째 자리까지 10.00으로 표시됩니다. 둘레는 2 × π × 5 = 10π이며 π에 3.14159265를 넣으면 31.41592653이라 31.4159로 표시됩니다. 넓이는 π × 5² = π × 25 = 25π이고 같은 방식으로 78.53981633이 나와 78.5398로 표시됩니다. 반지름 하나만 있으면 곱셈 두 번으로 세 값이 모두 나옵니다.

π는 어떤 원에서든 둘레를 지름으로 나눈 값으로 정의됩니다. 위에서 얻은 값으로 직접 확인하면 31.41592653 ÷ 10 = 3.14159265로 정확히 π가 나옵니다. 넓이 쪽에서도 같은 상수가 드러납니다 — 78.53981633 ÷ 5² = 78.53981633 ÷ 25 = 3.14159265입니다. 둘레와 지름의 비, 넓이와 반지름 제곱의 비가 같은 수라는 사실이 원의 세 값을 하나의 상수로 묶어 줍니다. 반지름을 아무 값으로 바꿔 넣어도 두 나눗셈의 결과는 언제나 같습니다.

반지름이 0보다 클 때만 계산이 성립합니다. 0이나 음수를 넣으면 넓이·둘레·지름 세 자리가 모두 줄표로 바뀌고 반지름이 0보다 커야 한다는 안내가 함께 뜹니다. 반지름 0은 점 하나일 뿐이라 둘레도 넓이도 0이 되어 원이라 부를 수 없고, 음의 길이는 기하학적으로 뜻이 없기 때문입니다. 아주 작은 값도 계산은 됩니다 — 0.001을 넣으면 넓이의 참값이 0.0000031쯤이라 소수 넷째 자리 표시에서는 0.0000으로 보입니다.

둘레가 두 배가 되려면 반지름이 두 배여야 하고, 그러면 넓이는 네 배가 됩니다. 반대로 넓이를 두 배로 만들고 싶다면 반지름에 2의 제곱근인 약 1.4142를 곱하면 됩니다 — 반지름 5의 넓이 78.5398을 두 배인 157.0796으로 만들려면 반지름이 5√2여야 하고, 이를 반올림한 7.0711을 넣으면 넓이가 157.0811로 나옵니다. 그때 둘레는 31.4159에서 44.4290으로 늘어 두 배가 아니라 약 1.41배만 커집니다. 넓이·둘레·반지름이 각각 다른 속도로 움직인다는 점을 기억하세요.

입력한 반지름의 단위가 그대로 결과의 단위를 정합니다. r을 cm로 넣으면 둘레와 지름은 cm, 넓이는 cm²입니다. 여기서 흔히 틀리는 지점이 단위 환산입니다 — 길이는 1m = 100cm이지만 넓이는 1m² = 10,000cm²입니다. 반지름 5cm 원의 넓이 78.5398cm²를 m²로 바꾸려면 100이 아니라 10,000으로 나눠 0.00785398m²가 됩니다. 한 계산 안에서 길이 단위를 섞어 넣으면 결과가 조용히 틀리므로 단위는 하나로 통일하세요.

이 계산기는 반지름을 넣으면 나머지가 나오는 방향이지만, 반대 방향도 나눗셈 한 번이면 됩니다. 둘레를 안다면 반지름은 둘레를 2π로 나눈 값이라 31.4159 ÷ 6.28318530 = 5.0000입니다. 넓이를 안다면 넓이를 π로 나눈 뒤 제곱근을 씌웁니다 — 78.5398 ÷ 3.14159265 = 24.99999이고 그 제곱근은 5.0000입니다. 지름만 알고 있다면 절반으로 나눠 입력하면 됩니다. 어느 경로로 들어와도 같은 원에 도착합니다.

넓이와 둘레는 소수 넷째 자리까지, 지름은 둘째 자리까지 반올림해 보여줍니다. π는 무리수라 소수 표기가 끝나지 않으므로 어디선가는 잘라야 합니다. 계산 자체는 배정밀도 π(3.14159265358979…)로 하고 표시만 줄입니다. 손으로 π를 3.14로 놓고 반지름 5의 넓이를 구하면 3.14 × 25 = 78.5가 나와 화면의 78.5398과 0.0398 차이가 납니다. 원이 커질수록 이 오차도 함께 커지니 정밀한 값이 필요하면 π를 더 길게 쓰세요.

이 페이지의 모든 값은 평면 위의 완전한 원을 전제합니다. 구의 겉넓이나 원기둥의 부피처럼 차원이 하나 늘어나는 도형은 이 공식으로 구할 수 없습니다. 지구 표면처럼 휘어진 면 위에 그린 원에도 평면 기하가 그대로 적용되지 않습니다. 이 페이지 설명의 기준일은 2026년이지만, 원의 넓이와 둘레 공식은 평면 기하의 정의에서 곧바로 따라 나오는 관계라 시간이 지나도 바뀌지 않습니다. 근거: 위 계산 과정에서 얻은 둘레 31.41592653을 지름 10으로 나누면 3.14159265, 넓이 78.53981633을 반지름의 제곱인 25로 나누어도 같은 3.14159265가 나옵니다. 두 나눗셈이 같은 상수로 수렴한다는 것이 π의 정의 그 자체이며, 이 페이지의 숫자는 모두 그 관계에 기본값 r = 5를 대입해 얻었습니다.