피타고라스 정리의 원리
모든 직각삼각형에서 가장 긴 변(직각의 맞은편 빗변) 위에 그린 정사각형의 넓이는 나머지 두 변 위 정사각형 넓이의 합과 정확히 같습니다. 이를 정리하면 두 변으로부터 빗변을 바로 구할 수 있습니다.
- a, b — 직각을 낀 두 변
- c — 빗변 — 직각의 맞은편 변
자세한 설명
피타고라스 수(삼조)
변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형이 있습니다: 3-4-5가 가장 작고, 이어서 5-12-13, 8-15-17이 있습니다. 이들의 배수(6-8-10, 9-12-15)도 성립합니다. 목수들은 각도기 없이 모서리가 정확한 직각인지 확인할 때 3-4-5 규칙을 씁니다.
계산 과정: 기본값 3과 4를 단계별로
위 계산기의 기본 설정은 변 a가 3, 변 b가 4입니다. 첫 단계는 두 변을 각각 제곱하는 것으로 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16이 됩니다. 두 번째 단계는 두 제곱을 더하는 것이며 9 + 16 = 25입니다. 세 번째 단계는 그 합의 제곱근을 구하는 것으로 √25 = 5이므로 빗변은 5입니다. 화면에는 소수 넷째 자리까지 자리를 고정해 5.0000으로 표시됩니다. 넓이는 별도의 식으로 구하며, 직각을 낀 두 변이 곧 밑변과 높이이므로 (3 × 4) ÷ 2 = 6이 되어 6.0000으로 나옵니다. 밑변과 높이를 따로 재지 않아도 되는 것이 직각삼각형의 편한 점입니다.
계산 과정: 빗변에서 한 변을 되돌릴 때 검산하는 법
이 계산기는 두 변에서 빗변을 구하지만, 반대 방향도 같은 식을 옮기면 됩니다. 빗변 c와 한 변 b를 알 때 나머지 변은 a = √(c² − b²)입니다. 빗변이 13이고 한 변이 5라면 13 × 13 = 169, 5 × 5 = 25, 169 − 25 = 144이고 √144 = 12입니다. 여기서 멈추지 말고 위 계산기로 되짚어 검산하세요. a에 5, b에 12를 넣으면 빗변이 13.0000으로 나와야 하며, 이 왕복이 맞아떨어지면 옮겨 적는 과정에서 실수가 없었다는 뜻입니다. 빼기가 곱하기보다 실수하기 쉬우므로 이 검산은 습관으로 둘 만합니다.
세 변이 직각삼각형을 이루는지 판정하기
길이 세 개를 알고 있을 때 그것이 직각삼각형인지는 가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱합을 비교하면 판정됩니다. 두 값이 같으면 직각, 제곱합이 더 크면 예각, 더 작으면 둔각입니다. 이 계산기로도 바로 확인할 수 있습니다. 예를 들어 a에 6, b에 7을 넣으면 빗변이 9.2195로 나오는데, 세 번째 변이 이 값보다 짧으면 그 맞은편 각은 90도보다 작고 길면 90도보다 큽니다. 6-7-9라면 36 + 49 = 85가 81보다 크므로 예각삼각형이고, 6-7-10이라면 85가 100보다 작으므로 둔각삼각형입니다. 다만 세 변 중 어느 것이 가장 긴지를 먼저 정해 놓고 비교해야 하며, 세 길이가 삼각형 자체를 이루는지(두 변의 합이 나머지 한 변보다 긴지)도 함께 봐야 합니다.
직육면체의 대각선까지 확장하기
피타고라스 정리는 평면에서 끝나지 않습니다. 가로 3, 세로 4, 높이 12인 상자의 마주 보는 꼭짓점 사이 거리를 구하려면 이 계산기를 두 번만 쓰면 됩니다. 먼저 바닥면의 대각선을 구합니다. a에 3, b에 4를 넣으면 5.0000이 나옵니다. 그다음 그 대각선과 높이를 두 변으로 다시 넣습니다. a에 5, b에 12를 넣으면 13.0000이 나오고 이것이 구하려던 공간 대각선입니다. 한 줄로 적으면 √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13이며, 항이 하나 늘었을 뿐 구조는 똑같습니다. 방에 들어가는 가구의 대각선 길이나 상자에 넣을 수 있는 막대의 최대 길이를 볼 때 그대로 쓰입니다.
경계 조건: 0과 음수, 그리고 무리수
두 변 중 하나라도 0 이하이면 빗변과 넓이가 모두 —로 표시됩니다. 길이가 0인 변으로는 삼각형이 만들어지지 않고 음수 길이는 정의되지 않기 때문이며, 입력칸 자체도 0 이상만 받도록 되어 있습니다. 반대편 경계에는 다른 종류의 한계가 있습니다. a와 b에 모두 1을 넣으면 빗변은 √2인데, 이 값은 소수로 끝나지 않는 무리수라 화면에는 반올림한 1.4142로 나옵니다. 넓이는 0.5000으로 정확합니다. 즉 이 계산기가 딱 떨어지는 값을 보여줄 때와 반올림한 값을 보여줄 때가 섞여 있으며, 표시 자릿수가 네 자리로 고정돼 있어 겉보기로는 구분되지 않습니다. 정확한 값이 필요하면 √를 남긴 형태로 두는 편이 낫습니다.
오해 정정: 세 변에 같은 수를 더해도 직각이 유지되지는 않습니다
3-4-5의 각 변에 같은 수를 곱한 6-8-10이나 9-12-15가 여전히 직각삼각형이라는 사실은 잘 알려져 있습니다. 여기서 곱하기를 더하기로 바꿔도 될 것 같지만 그렇지 않습니다. 3-4-5에 1씩 더한 4-5-6은 직각삼각형이 아닙니다. 4² + 5² = 16 + 25 = 41인데 6² = 36이라 두 값이 어긋나기 때문입니다. 실제로 41이 36보다 크므로 이 삼각형은 예각삼각형입니다. 곱하기가 통하는 이유는 세 변을 모두 k배 하면 제곱이 전부 k²배가 되어 등식의 양변이 같은 비율로 커지기 때문이고, 더하기는 그런 균형을 깨뜨립니다. 도면의 치수를 일괄로 늘릴 때 비율로 늘려야 하는 이유가 여기에 있습니다.
이 계산이 성립하는 범위와 기준일
피타고라스 정리는 평평한 평면 위의 직각삼각형에서만 성립합니다. 지구본 표면처럼 휘어진 면 위에서는 같은 식이 맞지 않아, 장거리 항법이나 측지에서는 구면 삼각법을 따로 씁니다. 지도 위 두 지점의 직선거리를 이 식으로 구할 때도 좁은 범위에서만 오차가 무시할 만합니다. 또 이 계산기는 a와 b가 직각을 낀 두 변이라고 전제하므로, 빗변을 a 칸에 잘못 넣으면 결과가 실제보다 커집니다. 이 페이지 설명의 기준일은 2026년이며, 정리 자체는 유클리드 기하의 정의에서 증명되는 명제라 개정되거나 값이 갱신되는 종류가 아닙니다. 근거: 화면의 빗변은 c = √(a² + b²), 넓이는 (a × b) ÷ 2 두 식으로만 계산됩니다. 위 블록에 나온 5.0000, 6.0000, 9.2195, 13.0000, 1.4142는 모두 이 두 식에 해당 값을 대입해 얻은 것이며 계산기에 직접 넣어 확인할 수 있습니다.
한 변 구하기. 두 변이 아니라 빗변과 한 변을 안다면 a = √(c² − b²)로 정리하세요. 이 계산기는 빗변을 구하며, 한 변을 구할 때는 제곱을 더하는 대신 빼면 됩니다. 뺄셈 결과가 0 이하로 나온다면 빗변으로 알고 있던 값이 실제로는 가장 긴 변이 아니라는 뜻입니다.
자주 묻는 질문
3-4-5 삼각형의 빗변은 얼마인가요?
c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5입니다. 3-4-5 삼각형은 가장 잘 알려진 피타고라스 수입니다. 위에 a = 3, b = 4를 입력하면 빗변 5.0000과 넓이 6.0000이 함께 나옵니다.
빗변을 알 때 한 변은 어떻게 구하나요?
정리하면 a = √(c² − b²)입니다. 예를 들어 빗변 13, 한 변 5면 a = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12입니다. 구한 값이 맞는지는 a = 5, b = 12를 이 계산기에 넣어 빗변이 13.0000으로 돌아오는지로 검산할 수 있습니다.
직각삼각형의 넓이는 어떻게 구하나요?
두 변이 밑변과 높이이므로 넓이 = (a · b) ÷ 2입니다. 변 3과 4면 (3 · 4) ÷ 2 = 6입니다. 빗변을 밑변으로 쓰면 높이를 따로 구해야 하므로, 직각을 낀 두 변을 그대로 쓰는 편이 훨씬 간단합니다. 넓이는 위에서 빗변과 함께 표시됩니다.
피타고라스 정리는 모든 삼각형에 적용되나요?
아니요 — 직각(90°)이 하나 있는 직각삼각형에만 적용됩니다. 다른 삼각형은 코사인 법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)가 필요하며, C가 90°일 때 cos(C)가 0이 되어 마지막 항이 사라지므로 피타고라스 정리로 환원됩니다.
세 변의 길이를 알 때 직각삼각형인지 어떻게 확인하나요?
가장 긴 변의 제곱과 나머지 두 변의 제곱합을 비교하면 됩니다. 두 값이 같으면 직각, 제곱합이 더 크면 예각, 더 작으면 둔각입니다. 위 계산기에 짧은 두 변을 넣어 나온 빗변을 실제 가장 긴 변과 비교해도 같은 판정이 나옵니다. 예를 들어 6과 7을 넣으면 9.2195가 나오므로 세 번째 변이 9라면 예각, 10이라면 둔각입니다.