삼각형 넓이 계산기

헤론의 공식은 기원 1세기 알렉산드리아의 헤론(Heron of Alexandria)이 정립한 수학 공식입니다. 삼각형의 넓이를 구하는 이 공식은 2,000년 이상 검증된 표준 공식으로, 값이나 계산 방식이 변경되지 않습니다.

세 길이가 실제 삼각형을 이루려면 어느 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 합니다(삼각부등식). 한 변이 나머지 두 변의 합과 같거나 더 길면 변들이 만나 도형을 이루지 못하므로, 계산기가 삼각형이 아니라고 판정해 넓이가 "—"로 표시됩니다.

삼각형 넓이의 가장 기본적인 공식은 밑변×높이÷2입니다. 하지만 이 식을 쓰려면 밑변에 대해 수직으로 내린 높이를 알아야 하는데, 실제 측량이나 도면에서는 높이를 직접 재기 어려운 경우가 많습니다. 반면 세 변의 길이는 줄자나 좌표만 있으면 비교적 쉽게 구할 수 있습니다. 헤론의 공식은 바로 이럴 때를 위한 것으로, 높이를 몰라도 세 변의 길이만으로 정확한 넓이를 계산합니다. 두 방법은 서로 다른 경로를 거칠 뿐 같은 삼각형이라면 항상 같은 넓이를 내야 합니다 — 실제로 3-4-5 직각삼각형에서 밑변 3, 높이 4로 계산하면 3×4÷2=6이 되어 위 헤론의 공식 결과(6)와 정확히 일치합니다.

세 변 대신 두 변의 길이와 그 사이 각도(낀각)를 알고 있다면, 넓이 = (1/2) × a × b × sin C 공식으로도 계산할 수 있습니다. 이 식은 한 변을 밑변으로 보고 다른 변의 높이 성분(b×sin C)을 구하는 방식이어서 밑변×높이÷2 공식과 원리가 같습니다. 낀각이 직각(90°)이면 sin 90°=1이 되어 식이 그대로 (1/2)×a×b로 단순해지는데, 이는 직각삼각형의 두 직각변을 곱해 2로 나누는 것과 같습니다. 즉 헤론의 공식, ½ab·sin C, 밑변×높이÷2는 세 변만 알 때·두 변과 각을 알 때·밑변과 높이를 알 때라는 서로 다른 상황에 맞춰 쓰는 같은 넓이의 세 가지 계산법입니다. 세 공식이 같은 값을 주는지는 3·4·5 직각삼각형으로 검산할 수 있습니다 — 헤론의 공식은 s = (3+4+5)/2 = 6에서 √(6×3×2×1) = √36 = 6, ½ab·sin C는 ½ × 3 × 4 × sin 90° = 6, 밑변×높이÷2는 3 × 4 ÷ 2 = 6으로 셋 다 6입니다.

변의 길이 대신 세 꼭짓점의 좌표 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)를 알고 있다면 신발끈 공식으로도 넓이를 구할 수 있습니다. 계산 과정은 다음과 같습니다: ① 넓이 = |x1(y2−y3) + x2(y3−y1) + x3(y1−y2)| ÷ 2 를 적용합니다. ② 예를 들어 세 점이 (0,0), (3,0), (0,4)라면 |0×(0−4) + 3×(4−0) + 0×(0−0)| ÷ 2 = |0+12+0| ÷ 2 = 6이 됩니다. ③ 이 세 점을 잇는 삼각형의 세 변 길이는 각각 3, 4, 5이므로, 위 헤론의 공식으로 구한 3-4-5 삼각형의 넓이(6)와 정확히 일치합니다. 좌표를 다루는 지적측량이나 CAD 도면에서는 이 방식이 더 실용적입니다.

밑변의 길이와 꼭짓점까지의 수직 높이가 같다면, 꼭짓점이 그 밑변과 나란한 선 위 어디에 있든 삼각형의 넓이는 항상 같습니다. 예를 들어 밑변이 6, 높이가 4인 삼각형은 꼭짓점이 밑변 바로 위(직각삼각형이나 이등변삼각형)에 있든 옆으로 치우쳐(부등변삼각형) 있든 넓이는 항상 6×4÷2=12로 동일합니다. 이는 밑변×높이÷2 공식이 꼭짓점의 좌우 위치가 아니라 높이(수직 거리)에만 좌우되기 때문입니다. 이 성질은 평행선 사이의 넓이 비교, 도형 분할 증명 등에서 자주 활용됩니다.

삼각형 넓이 계산은 교과서 밖에서도 자주 쓰입니다. 토지 필지가 삼각형이나 부정형으로 나뉜 경우, 경계 말뚝 사이 거리(세 변)만 측량하면 헤론의 공식으로 별도 각도 측정 없이 면적을 구할 수 있습니다. 인테리어나 시공 현장에서 생기는 삼각형 모양의 자투리 공간(코너 자투리, 계단 밑 공간 등)도 세 변 길이만 재면 필요한 마감재나 바닥재 면적을 바로 계산할 수 있습니다. 옷감이나 합판을 삼각형으로 재단할 때도 이 계산기로 필요한 자재량을 미리 가늠할 수 있습니다.