등비수열 계산기

출처: 표준 대수학. 이 계산의 수학적 원리는 표준 대수학에 기반하며, 별도의 법령이나 고시에 의존하지 않습니다.

합 공식은 (r − 1)로 나누므로 r=1에서는 정의되지 않습니다. 하지만 r=1이면 모든 항이 a₁로 동일하므로, n개의 같은 값을 더한 합은 그냥 a₁ × n입니다 — 별도 유도가 필요 없습니다.

수열이 발산하는지 0으로 수렴하는지는 공비의 부호가 아니라 절댓값이 정합니다. |r|>1이면 항의 크기가 한없이 커지며 발산하고(a₁=1, r=3 → 1, 3, 9, 27, …), |r|<1이면 항의 크기가 점점 줄어 0으로 수렴합니다(a₁=8, r=0.5 → 8, 4, 2, 1, 0.5, …). |r|=1이면 크기가 그대로 유지돼, r=1은 모든 항이 a₁인 상수수열이 되고 r=−1은 a₁과 −a₁을 오가는 유계 진동이 됩니다. 부호는 여기에 겹쳐지는 별개의 성질이라, r<0이면 항의 부호가 한 칸씩 번갈아 바뀔 뿐입니다 — r=−2는 1, −2, 4, −8처럼 진폭이 커지며 발산하지만 r=−0.5는 1, −0.5, 0.25, −0.125처럼 부호는 번갈아도 0으로 수렴합니다. 그래서 "공비가 음수면 진동한다"까지만 보고 발산 여부를 판정하면 틀립니다. 첫째항의 부호도 함께 봐야 하는데, a₁이 음수면 같은 r=3에서도 −1, −3, −9, −27처럼 값이 음의 방향으로 벌어집니다.

|r|<1이면 항이 점점 0에 가까워지므로, 항을 무한히 더해도 합이 특정한 유한한 값으로 수렴합니다. 이를 무한등비급수라 하며 합은 S = a₁/(1−r)로 구합니다. Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1)에서 n이 한없이 커지면 |r|<1일 때 rⁿ이 0에 가까워지므로 식이 자연스럽게 a₁/(1−r)로 단순해집니다. 예를 들어 a₁=1, r=0.5이면 1+0.5+0.25+0.125+…의 합은 1/(1−0.5)=2입니다. 반대로 |r|≥1이면 항이 줄어들지 않아 합이 무한히 커지므로 이 공식을 쓸 수 없습니다. 근거는 밖에서 가져올 필요가 없습니다 — 두 줄로 유도되기 때문입니다. S = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ⁻¹ 의 양변에 r을 곱하면 rS = a₁r + a₁r² + … + a₁rⁿ 이고, S에서 rS를 빼면 가운데 항이 전부 지워져 S(1−r) = a₁(1−rⁿ) 만 남습니다. 양변을 (1−r)로 나눈 것이 위의 부분합 공식이고, |r|<1일 때 rⁿ→0을 넣은 것이 무한급수 공식입니다. 그래서 |r|<1은 임의로 붙인 단서가 아니라 rⁿ이 사라져야 성립하는 식 자체의 조건입니다.

0.999…는 0.9+0.09+0.009+…로 풀어 쓸 수 있고, 이는 첫째항 0.9, 공비 0.1인 무한등비급수입니다. |r|=0.1<1이므로 합 공식 a₁/(1−r)을 그대로 적용하면 0.9/(1−0.1)=0.9/0.9=1이 됩니다. 즉 0.999…는 1에 가까운 근삿값이 아니라 정확히 1과 같은 값입니다. 직관적으로 어색해 보여도, 이는 무한등비급수의 수렴 정의를 그대로 따른 결과일 뿐입니다.

연이율 5%로 매년 복리가 붙는 예금은 원금에 매년 1.05를 곱하므로 공비 r=1.05인 등비수열입니다. 원금 100만 원을 넣으면 1년 후 105만 원, 2년 후 110.25만 원으로 늘어납니다. 원금을 첫째항 a₁=100(만 원)으로 두면 aₙ=100×1.05ⁿ⁻¹은 n−1년 후 잔액이므로, n년 후 잔액을 바로 쓰려면 100×1.05ⁿ입니다 — 항 번호는 1부터 세는데 경과 연수는 0부터 세기 때문에 한 칸 어긋납니다. 반대로 방사성 물질의 반감기나 자동차 감가상각처럼 매 기간 일정 비율씩 줄어드는 현상은 0<r<1인 등비수열입니다. 반감기가 지날 때마다 양이 절반으로 줄면 r=0.5이고, 3번의 반감기 후에는 처음의 (0.5)³=1/8만 남습니다.

두께 0.1mm인 종이를 한 번 접을 때마다 두께가 두 배가 되므로 공비 r=2인 등비수열입니다. 42번 접으면 두께는 0.1×2⁴²mm ≈ 439,805km가 되어 지구에서 달까지의 평균 거리 약 384,400km를 넘어섭니다 — 41번까지는 219,902km라 아직 절반 남짓입니다. 옛이야기 속 체스판 밀알 문제도 같은 원리입니다 — 첫 칸에 밀 1알, 다음 칸마다 두 배씩 놓으면 64번째 칸에는 2⁶³알이 필요하고, 64칸 전체의 합은 Sₙ=1×(2⁶⁴−1)/(2−1)=2⁶⁴−1로 전 세계 밀 생산량을 훌쩍 넘습니다. 공비가 1보다 살짝만 커도 항수가 늘면 값이 상상 이상으로 커진다는 것을 보여주는 예입니다.

등비수열에서 이웃한 세 항 a, b, c가 있다면 가운데 항 b는 b²=ac를 만족합니다. 이를 등비중항이라 하며, 세 항이 모두 양수이면 b=√(ac)로 산술평균 (a+c)/2가 아니라 기하평균이 됩니다. 예를 들어 2와 8 사이의 등비중항은 √(2×8)=4이고, 실제로 2, 4, 8은 공비 2인 등비수열이 맞습니다. 다만 b²=ac는 부호까지 정해 주지 않아 b=±√(ac) 둘 다 후보입니다 — 1, −2, 4는 공비 −2인 등비수열이지만 가운데 항은 √(1×4)=2가 아니라 −2입니다. 산술평균을 쓰면 (2+8)/2=5가 되어 2, 5, 8을 만들지만 이는 공비가 아니라 공차가 일정한 등차수열이 되므로, 등비수열에서는 반드시 기하평균을 써야 합니다.