72의 법칙 계산기 (원금 2배 되는 기간)

기본값인 연 수익률 8%, 목표 배수 2배를 두 방식으로 각각 풀어보겠습니다. 근사식은 상수를 수익률로 나누기만 하면 되므로 72 ÷ 8 = 9.00년입니다. 정확식은 ln(2) ÷ ln(1 + 0.08)이고, ln(2) ≈ 0.693147, ln(1.08) ≈ 0.076961이므로 0.693147 ÷ 0.076961 ≈ 9.0065년이 되어 화면에는 9.01년으로 표시됩니다. 어느 쪽이 맞는지는 직접 곱해보면 압니다 — 1.08을 9번 곱하면 1.9990으로 2배에 0.05% 모자라고, 9.0065번 곱해야 정확히 2.0000이 됩니다. 두 답의 차이는 0.0065년, 날로 따지면 약 2.4일입니다.

같은 2배 조건에서 수익률만 바꿔 두 식을 나란히 계산하면 이렇습니다. 연 1%는 근사 72.00년·정확 69.66년(근사가 2.34년 김), 연 2%는 36.00년·35.00년(+1.00년), 연 4%는 18.00년·17.67년(+0.33년), 연 6%는 12.00년·11.90년(+0.10년), 연 8%는 9.00년·9.01년(−0.01년), 연 10%는 7.20년·7.27년(−0.07년), 연 15%는 4.80년·4.96년(−0.16년), 연 20%는 3.60년·3.80년(−0.20년), 연 30%는 2.40년·2.64년(−0.24년)입니다. 연 7.85% 언저리에서 두 값이 거의 정확히 만나고, 그보다 낮으면 근사식이 기간을 길게, 높으면 짧게 잡습니다. 부호가 한 곳에서 뒤집히므로 '항상 과대평가' 같은 한 줄 요약은 성립하지 않습니다.

위 값을 상대 오차로 바꿔 보면 근사가 잘 듣는 구간이 숫자로 드러납니다. 연 6%는 +0.88%, 연 7%는 +0.40%, 연 8%는 −0.07%, 연 9%는 −0.54%, 연 10%는 −1.00%로 이 구간 전체가 1% 안쪽입니다. 9년짜리 답에서 한 달 남짓 차이라는 뜻입니다. 구간 밖은 연 1%가 +3.36%, 연 20%가 −5.31%, 연 30%가 −9.16%로 벌어집니다. 다만 상대 오차와 절대 오차는 커지는 방향이 반대라는 점을 같이 봐야 합니다 — 연 30%의 −9.16%는 햇수로 0.24년이지만, 연 1%의 +3.36%는 2.34년이나 됩니다. 퍼센트로는 저이율 쪽이 낫고, 실제 햇수로는 고이율 쪽이 안전합니다.

근사식만 보면 맞는 말처럼 보입니다. 72 ÷ r 은 r에 반비례하므로 연 8%의 9.00년은 연 16%에서 정확히 4.50년이 됩니다. 그런데 정확식으로 계산하면 연 8%가 9.01년, 연 16%가 4.67년으로, 절반인 4.50년보다 0.17년 깁니다. 반비례는 근사식이 만들어낸 성질이지 복리 자체의 성질이 아닙니다. 실제로는 분모가 r이 아니라 ln(1 + r/100)이고, 이 값은 r이 커질수록 r보다 천천히 늘어나기 때문에 기간이 절반까지 줄어들지 않습니다. 수익률을 두 배로 올리는 상황을 계산할 때는 근사값끼리 비교하지 말고 정확식 칸을 각각 확인하세요.

상수의 이론적 출발점은 100 × ln(배수)입니다. 2배는 69.31, 3배는 109.86, 4배는 138.63이 나옵니다. 그런데 실제로 쓰는 상수는 72·114·144로 모두 조금씩 큽니다. 이유는 두 가지입니다. 첫째, 정확식의 분모가 수익률 자체가 아니라 ln(1 + r/100)이라 흔히 쓰는 이율 구간에서는 상수를 조금 키워야 답이 맞습니다. 69.31을 그대로 쓰면 연 8%에서 8.66년이 나와 정확값 9.01년과 0.34년이나 벌어지지만, 72를 쓰면 9.00년으로 0.01년 차이에 그칩니다. 3배도 마찬가지로 109.86 ÷ 8 = 13.73년보다 114 ÷ 8 = 14.25년이 정확값 14.27년에 훨씬 가깝습니다. 둘째, 72는 1·2·3·4·6·8·9·12·18·24·36으로 나누어떨어져 머릿속에서 나누기가 쉽습니다.

목표 배수를 바꿔도 근사가 잘 듣는 구간은 비슷합니다. 연 8%에서 3배는 114 ÷ 8 = 14.25년 대 정확 14.27년으로 0.02년 차이, 4배는 144 ÷ 8 = 18.00년 대 정확 18.01년으로 0.01년 차이입니다. 구간 양 끝을 보면 연 6%에서 3배는 19.00년 대 18.85년(+0.15년), 4배는 24.00년 대 23.79년(+0.21년)이고, 연 10%에서 3배는 11.40년 대 11.53년(−0.13년), 4배는 14.40년 대 14.55년(−0.15년)입니다. 한 가지 덧붙이면, 정확식에서 4배 기간은 2배 기간의 정확히 두 배입니다(9.0065 × 2 = 18.013). 상수 쪽도 144 ÷ 72 = 2라 이 관계만은 두 방식이 일치합니다. 반면 3배 대 2배는 ln(3) ÷ ln(2) ≈ 1.585, 상수로는 114 ÷ 72 ≈ 1.583으로 살짝 다릅니다.

연 수익률이 0 이하이면 두 출력 모두 '—'로 비워집니다. 0%에서는 원금이 영원히 그대로라 목표 배수에 닿는 시점이 존재하지 않고, 음수에서는 원금이 오히려 줄어들어 마찬가지이기 때문입니다. 반대쪽 끝은 계산 자체는 되지만 근사가 무너집니다. 연 100%를 넣으면 근사식은 72 ÷ 100 = 0.72년, 정확식은 ln(2) ÷ ln(2) = 정확히 1년입니다. 근사값이 정답의 72%에 불과하니 이 영역에서는 어림수로도 쓸 수 없습니다. 목표 배수는 2·3·4 중에서만 고를 수 있는데, 각 배수에 대응하는 상수가 미리 정해져 있어서 그 밖의 값에는 쓸 상수가 없기 때문입니다.

두 출력 모두 수익률이 해마다 같은 값으로 유지되고, 불어난 금액이 인출 없이 그대로 남아 다시 굴러간다고 전제합니다. 세금과 수수료, 물가 상승은 반영하지 않으므로 실제로 체감하는 도달 시점은 여기 나온 값보다 늦습니다. 원금을 도중에 더 넣거나 빼는 경우도 이 식으로는 다룰 수 없습니다. 이 설명의 기준일은 2026년이며, 근사식과 정확식 사이의 관계는 로그의 정의에 묶여 있어 시점이 달라져도 바뀌지 않습니다. 근거: 위에 나온 모든 햇수는 72 ÷ r(또는 114 ÷ r, 144 ÷ r)과 ln(배수) ÷ ln(1 + r/100)이라는 두 식에 같은 수익률을 각각 넣어 비교한 값입니다. 연 8%·2배의 9.00년과 9.0065년은 1.08을 아홉 번 곱했을 때 1.9990이 되는지로 직접 되짚을 수 있습니다.